河北省部分重点中学2025届高三下学期二轮复习联考（二）数学试题（解析版）高考模拟

这是一份河北省部分重点中学2025届高三下学期二轮复习联考（二）数学试题（解析版）高考模拟，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，所以.
故选：B
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，因为，则.
故选：A.
3. 已知为抛物线上一点，且点到轴的距离为1，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】由题意知点的坐标为，将其代入，得，.
故选：B
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 无法确定，与有关
【答案】C
【解析】由题，则，
所以.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，所以，
则.
故选：A.
6. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. 1D. 24
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以.
所以二项式的展开式中，常数项为：.
故选：D
7. 设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，由角平分线定理可得，
则，.
在中，由余弦定理得；
在中，由余弦定理得.
由得.解得.
则，即，
所以双曲线的离心率为.
故选:B.
8. 某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为.若序列的所有项都是3，且，，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】C
【解析】因为，
设，则，
因为的所有项都是3，所以，设，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以.
由，；
由，；
由；
由.
又，所以.
所以.
故选：C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数的大致图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】函数，其中，，，取.
又函数图象是由的图象向左平移个单位得到的，AC符合题意，
故选:AC.
10. 已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6，故B错误；
因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
11. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 为偶函数B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由于是定义在上的奇函数，所以，
则，即，故A正确；
因为是奇函数，所以，即，
所以，则，令，所以，
所以，即的图象关于直线对称，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设A，B为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则_____.
【答案】
【解析】因为，所以.
.
故答案为：.
13. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的最小正周期的最小值为_____.
【答案】
【解析】，在区间上有且仅有2个零点，即，则有且仅有两个零点.
所以，则，即，
又，取最大值时，有最小值，最小值为.
故答案为：.
14. 在长方体中，底面是边长为1的正方形，，Q是空间中的一个动点，且满足，则直线与所成角的正切值的取值范围为_____.
【答案】
【解析】方法一、如图以A为原点建立空间直角坐标系，
∴，，，，
设 ，
∵，∴，
即，不妨取，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴直线与所成角的正切值的取值范围为，
故答案：.
方法二、如图在长方体中，底面是边长为1的正方形，，

∴，，，，
∵，
∴不妨取，则点Q的轨迹是以为轴，且圆锥底面的圆上，
图形如下：
∴当Q在M时，直线与所成角取得最小值，
，
∴当Q在N时，直线与所成角取得最大值，
，
∴直线与所成角的正切值的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，.
（1）解：当时，，，
则，，则所求切线方程为，即.
所以曲线在点处的切线方程为
（2）证明：的定义域为，，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以.要证，只需证.
设，则只需证当时，.
因为在时恒成立，所以在上单调递减，
所以当时，，即，所以，得证.
16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为梯形，，，四边形ABCD是菱形，，，，.

（1）证明：平面平面BDF；
（2）求平面BDF与平面BCE的夹角的余弦值.
（1）证明：因为四边形是菱形，且，所以.
又因为，，所以，所以.
因为，所以.
又因为四边形是菱形，所以，又平面，且，所以.
因为平面，所以平面.
（2）解：记，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，平行向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，
则，，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，.
.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17. 市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据：
（1）根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，请计算相关系数（精确到0.01），并判断是否可以认为与的线性相关性很强；
（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”.
参考公式：
（1）相关系数.若，则认为与有较强的线性相
关性.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为；
（2），其中.
临界值表：
参考数据：，，，，.
解：（1）由题可知，，，
，
.
，可得.
相关系数
，可以认为与有较强的线性相关性.
（2）填写下面的列联表
由表可知，
则
所以有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”.
18. 已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且.
（1）求椭圆M的标准方程.
（2）点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程.
解：（1）由已知，得，，，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为.
由解得或（舍去），
所以点的坐标为，从而点的坐标为，
于是直线的斜率，直线的方程为.
又直线的方程为，由得；
由得.
直线的方程为，直线的方程为，由得.
因为直线的斜率，直线的斜率，
所以，，所以四边形为平行四边形.
19. 已知是公差不为0无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质.
（1）已知，，判断数列，是否具有性质；
（2）若数列具有性质，证明：的各项均为整数；
（3）若，求具有性质的数列的个数.
（1）解：，，即，所以数列具有性质.
，令，则，不符合，则不具有性质.
（2）证明：设数列的公差为，因为数列具有性质，所以存在，
同理存在，两式相减得，
即，因为，所以.所以的各项均为整数.
（3）解：由（2）可知，数列的各项均为整数，所以为整数.
假设为负整数，则为递减数列，所以中各项最大值为，
由题意，中存在某项，且，所以，
而数列中存在，则，与题意相矛盾，所以不是负整数，为正整数.
由得，，
所以，
所以为整数，即为的约数.
由为正整数，所以为的正约数，
，所以的正约数共有个，则，具有性质的数列的个数为.
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