北京市朝阳区2025届高三下学期质量检测二数学试题（解析版）

这是一份北京市朝阳区2025届高三下学期质量检测二数学试题（解析版），共21页。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于集合，，化简得，所以.
所以集合.
对于集合，，根据指数函数的性质可得.
所以集合.
所以.
故选：A.
2. 若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线方程为，
准线方程为.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
又在上为增函数，
所以，
综上，，
故选：D
4. 已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】由，根据题意有，由组合数的性质有.
故选：B.
5. 已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
作出函数图象，如图，
由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确；
图象不关于点对称，故B错误；
当时，，故C错误；
令，则，故D错误.
故选：A
6. 在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在矩形中，因为点E为线段的中点，所以，
则有，
因为，分别是与方向相同的单位向量,
所以，
则，
又因为，所以，
故选：B.
7. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，
得，解得或，
由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】由函数，可得，可得，
所以曲线在点处的切线方程为：，
又由，
因为，其中，
若时，，其中，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以，
又由，且，即不恒成立，
所以C正确，A不正确；
若时，，其中，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以不恒成立，
又由，，此时，所以不恒成立，
所以B、D均不正确.
故选：C.
9. 金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图，
O是顶点A在下底面的射影，E是正四面外接球的球心，AO是正四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，是球的半径，
则，解得，
在中，，
在中，，
即，即，
解得，
所以，
由于到正四面体各面的距离相等，则E到平面的距离为.
故选：C
10. 设无穷数列的前n项和为，定义，则（ ）
A 当时，
B. 当时，
C. 当时，则
D. 当时，
【答案】D
【解析】对于A选项：当时，，不正确；
对于B选项：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，故，不正确；
对于C选项：当时，，
又，所以
，不正确；
对于D选项：当时，，
，正确，
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数z满足，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：
12. 已知等差数列满足，则__________；设为的前项和，则使的的最小值为__________．
【答案】 ①. 0 ②. 7
【解析】设等差数列的公差为，由，
得到，解得，所以，
则，
又，得到或（舍），
又，所以使的的最小值为，
故答案为：，.
13. 在中，，且，则__________；面积的最大值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】在中，由，得，而，所以；
的面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
故答案为：；
14. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为__________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】的渐近线为，且焦点在轴上，
由题知：，因，解得，
所以离心率，
故离心率的一个取值可以为3.
故答案为：3(答案不唯一).
15. 设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②若，则；
③设函数，则的最大值为；
④设函数，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③
【解析】圆的圆心在轴上，设圆与的另一个交点为，设，当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，解得，所以点纵坐标为，此时点，
当点与点重合时，点的纵坐标也满足，所以，
对任意的，，所以的定义域为，
对于命题①，因为，所以是偶函数，故①正确；
对于命题②，因为，当时，，即在区间上单调递增，
所以当时，若，则，所以②错误，
对于命题③，，因为，当时，，
当时，，又，当且仅当，即时取等号，
所以，故③正确，
对于命题④，，令，
则，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若，即时，，
即当时，的最小值为，所以④错误，
故答案为：①③.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值．
条件①：在区间上单调递增；
条件②：的最大值为；
条件③：为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）由题意得，
所以的最小正周期，
由，
得．
所以的单调递增区间为．
（2）选择条件①：
由题意得．
由（1）可知的单调递增区间为．
由在区间上单调递增，得
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一，
当时，，
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
选择条件②：
由题意得，
函数最大值为，则只需，
由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②；
选择条件③：
由题意得．
由为偶函数可知，
解得．
又因为，所以．
从而存在且唯一．
当时，，
所以当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
17. 如图，在三棱柱中，底面侧面，侧面是边长为4的菱形，．
（1）求证：侧面为矩形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：连接，因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，从而．
因为，所以．
设中点为D，连接，则．
又，
所以．
因为底面侧面，
底面侧面，
侧面，所以底面，而平面．
所以．
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以
又因为侧面为平行四边形，
所以侧面为矩形．
（2）解：由（1）可知平面，所以．
所以两两垂直．
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
所以．
设平面的法向量为，则
即
令，则．所以．
设直线与平面所成角为，
所以
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
18. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图：
（1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；
（2）从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论）
解：（1）设事件M：从A地区抽取500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于．由频率分布直方图可知A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为，
所以．
（2）B地区评分为的样本用户共有人，
其中评分不低于的人数为5人．
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
所以X的分布列为：
则X的数学期望
（3）．
19. 已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值．
解：（1）由题意得解得
所以椭圆E的方程为．
（2）由得．
由得．
又，所以．
设，则．
不妨设点A在点B上方，
因为，又，
此时，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，所以．
由题可知直线和的斜率都存在，分别设为和，则．
因为，
所以，即．
由得．
所以．整理得，
又，所以
20. 已知函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）若存在极值点，且，求的值．
解：（1）若，则，，
当时，，所以在单调递减，
所以当时，取得最大值.
（2）的定义域为，
当时，易知在区间上单调递减，符合题意；
当时，，设，
则，当时，，所以在区间上单调递减，
①若，即时，当时，，即，
此时在区间上单调递增，不符合题意；
②若，即时，，
所以存在唯一的使得，
当时，，即，
此时在区间上单调递减，符合题意；
综上，的取值范围为.
（3）由题意可得即，
所以，即（*），
设函数，
，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以，当且仅当时取等号，
又（*）等价于，所以，
所以．
经检验，当时，存在极大值点且，符合题意，
所以．
21. 已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数．
（1）若，求所有可能取值；
（2）求证：数列中存在等于1的项；
（3）求证：存在，使得集合为无穷集合．
（1）解：因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个，
∴或．
当时，；当时，．
所以的所有可能取值为2，3．
（2）证明：假设中不存在等于1的项,则．
又，所以．
当时，由，则存在，使得．
所以，与假设矛盾．
当时，由，则存在，使得,且中有且只有一项与相等.
①若中有两项为2，一项为3，
则，与假设矛盾．
②若中有两项为2，一项为，
则，与假设矛盾．
③若中有一项为2，两项为3，
则，与假设矛盾．
④若中有一项为2，两项为，
则，矛盾．
综上，假设不成立，所以中存在等于1的项．
（3）证明：假设均为有限集合，
当时，,
则当时，（*）
令,下证当时，.
否则假设n0=minn∈N*|an>M,n>k0，则,与（*）矛盾.
∴当时，,
∵已知数列是无穷正整数数列，
所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾，
∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合．X
0
1
2
P