江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段联考 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段联考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．0
2．若，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，且三点共线，则（ ）
A．B．1C．2D．4
4．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
7．已知，则，，的大小顺序为
A．B．C．D．
8．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各式的值正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知，则 .
13．如图，P，Q分别是四边形的对角线与的中点，设，，且，不是共线向量，向量 （.试用基底，表示）
14．已知，则 ， .
四、解答题
15．已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．（1）求值：.
（2）在中，已知，求角C的大小.
17．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.
（1）用、表示；
（2）求的值.
18．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
19．已知函数，且恒成立.
（1）求a的值；
（2）设，若，，使得，求实数b的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意得,
故选A
2．【答案】A
【详解】由已知得：，
即，所以.
故选A.
3．【答案】A
【详解】因为三点共线，所以，
因为，
所以，解得.
故选A.
4．【答案】D
【详解】已知，移项可得，
因为，所以，
对两边同时平方可得，
根据完全平方公式则，
又因为，，所以可化为，
由，移项可得，则，
根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，
则.
故选D.
5．【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以
又，，
所以，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选C.
6．【答案】A
【详解】在中，点在线段上，且，
则，
，而，因此，
即，所以.
故选A
7．【答案】B
【详解】
故选B.
8．【答案】D
【详解】设，，
且
，
当且仅当时等号成立，又的最小值为，
所以，又，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设点，其中，且、，
，，
所以，
当且仅当时，取最小值.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】．A不正确；
，B正确；
，C不正确；
，D正确．
故选BD.
10．【答案】AD
【详解】对于A，
，
函数的最小正周期，故A正确；
对于B，因为，所以，
而函数在上不单调，故在区间上不单调，故B错误；
对于C，由（），得（），
不可能取到，故C错误；
对于D，由的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.
故选AD.
11．【答案】BC
【详解】由是的重心可得，
所以，故A项错误；
过的外心分别作，
的垂线，垂足为，，如图（1），易知，分别是，的中点，则
，故B项正确；
因为是的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确：
如图（2），由于，所以，故D错误．
故选:BC.
12．【答案】
【详解】因为，即，
所以.
13．【答案】
【详解】如图
因为，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，
取的中点G，连接，，
所以，，，
∴.
14．【答案】
【详解】由可得，即，
由可得，即，
两式相加可得，
即，解得；
因为，
，
所以，
所以．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
16．【答案】（1）； （2）
【详解】（1）
，
∵，
∴原式=.
（2）中，已知，
若，则，不合题意；
∴，，
由已知，，
∴，，
∴，∴.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，则，所以，
因为为的中点，故.
（2）因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则，
所以，故.
18．【答案】（1）的左侧.
（2），航行小时.
（3）
【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为，
∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
（2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为，
∴，故，又，此时，
∴垂直方向上的速度，
∴.
（3）由（1）知：垂直方向航行时间为，
∴水平方向航行距离为，
∴游船航行到达北岸的实际航程.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
，其中为锐角且，
由于，，故，
所以，，故，，
，，解得；
（2）由（1）得，不妨取，故，
，，使得，
则只需，
当时，，故，
则，
令，则，
则，
其中，
因为，所以，，
若，此时在上单调递减，
故，故，
若，此时，
令，故，解得，
与取交集得，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得，与取交集得，
综上，.