2025年江西省景德镇市普通高中学业水平选择性考试冲刺数学模拟试卷（含解析）

这是一份2025年江西省景德镇市普通高中学业水平选择性考试冲刺数学模拟试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了已知P为圆C，3分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知有800名同学参加数学测试，其中成绩高于118分的同学有240名，若118为本次数学测试成绩的第p百分位数，则p的值可以为
A.20B.30C.70D.80
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(-1，-1)，则z−-1z=
A.-12-i2B.12-i2C.-12+i2D.12+i2
3.已知椭圆E：x2a2+y24=1(a>0)，则“a=4”是“椭圆E的离心率为32”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.记Sn为数列{an}的前n项和，且点列(n，an)(n∈N*)均匀分布在直线y=2x+b上，若Sk+3-Sk=30+S3，则k=
A.8B.7C.6D.5
5.已知圆锥OO'的底面圆周在球O的球面上，顶点在球心O处.若圆锥OO'的侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥OO'的体积与球O的体积的比值为
A.6125B.9125C.18125D.27125
6.已知x，y∈{0，1，2，3，4，5，6}，且C6x0)，如图，直线y=1与曲线y=f(x)相交于A，B两点，设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则f(x2-x1)= ，设函数f(x)在t，t+2π9上的最大值为Mt，最小值为mt，则Mt-mt的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=aln x-x(a≠0).
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1）处的切线方程；
(2)设A={x|f(x)>0}，若A≠⌀，且A⊆(1，10)，求实数a的取值范围.
16.(15分)如图，在多面体ABC-DEF中，△ABC是等边三角形，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD∥CF，且AD=AC=2BE=2CF，P为FD上靠近点F的三等分点.
(1)证明：AP⊥DE.
(2)求平面APB与平面DEF夹角的余弦值.
17.(15分)有5个相同的箱子，其中4个箱子中各装有5个红球和5个黑球，第5个箱子甲箱中装有8个红球和2个黑球，现从5个箱子中任选3个，再从这3个箱子中分别随机摸出1个球.
(1)若选中的3个箱子中包含甲箱，记摸出的红球的个数为X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)若摸出的3个球均为红球，求其中1个球来自甲箱的概率.
18.(17分)已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为120°.
(1)求E的方程.
(2)过E的左焦点F的直线l与E的左支交于A，B两点，过点F与l垂直的直线交E于C，D两点，其中点A在x轴上方，点D在E的右支上，M，N分别为AB，CD的中点.
(i)证明：直线MN过定点.
(ii)设Q为E的右顶点，若△ABQ和△CDQ相似，求直线l的方程.
19.(17分)若存在常数t，使得数列{an}满足an+1-a1a2a3…an=t(n∈N*)，则称数列{an}为“H(t)数列”.
(1)已知i=1，2，3，4，5，数列{ai}为“H(1)数列”，且ai∈{1，2，3，…，99}，求a5-a2的值.
(2)若数列{an}是首项为2的“H(t)数列”，数列{bn}是正项等比数列，且∑i=1nai2=a1a2a3…an+lg3bn，证明：当n≥2时，n3(1+2n)0，试比较an+1与t+eSn-n的大小.
答案
1.C 【命题意图】本题考查百分位数，要求考生理解百分位数的统计含义.
【解题分析】由题意知，有800-240=560名同学的数学测试成绩不高于118分，560800×100%=70%，故p的值可以为70.
2.C 【命题意图】本题考查复数的有关概念及运算，要求考生理解复数的有关概念和掌握复数的四则运算.
【解题分析】由题意知z=-1-i，z−-1z=zz−-1z=1-1-i=-12+i2.
3.A 【命题意图】本题考查椭圆和充要条件，要求考生理解椭圆的几何性质与充要条件的意义.
【解题分析】当a=4时，半焦距c=23，e=ca=32，充分性成立；当e=32时，若00.
令1+aeax=0，得x0=1aln-1a，易知x=x0是y=f(x)唯一的极值点.
设g(x)=-xln x，则g'(x)=-ln x-1，易知g(x)在0，1e上单调递增，在1e，+∞上单调递减，可得g(x)≤g1e=1e，即x0≤1e.
9.AC 【命题意图】本题考查空间点、线、面的位置关系，要求考生了解空间点、线、面的位置关系及平行六面体的结构特征.
【解题分析】如图，连接CB1，CA1，M，N分别为BC1，A1B1的中点，易知MN∥CA1，则MN∥平面CAA1C1，A项正确；易知该平行六面体所有的棱长相等，记CD=a，CB=b，CC1=c，且两两夹角相等，易知CA1=a+b+c，BD=a-b，CA1·BD=a2-b2+a·c-b·c=0，即CA1⊥BD，同理CA1⊥DC1，BD∩DC1=D，则CA1⊥平面BC1D，MN⊥平面BC1D，C项正确；显然MN与CP不平行，若MN与CP有交点，则CP⊂平面CDA1B1，不成立，B项不正确；连接A1P，易知A1P=CP，CP+A1P=2CP>CA1=2MN，D项不正确.
10.BCD 【命题意图】本题考查直线与圆，要求考生了解直线与圆的位置关系.
【解题分析】如图，易知以OA为直径的圆的圆心为12，32，半径R=102，显然和圆C相交，满足条件的点P有2个，A项不正确；已知圆心C(3，0)，半径r=2，设切线方程为y=kx，则|3k|1+k2=2，解得k=±255，B项正确；设Q为AP的中点，Q(x，y)，P(m，n)，则m=2x-1，n=2y-3，代入圆C方程可得Q的轨迹方程为(x-2)2+y-322=1，则|OQ|min=32，即|OA+OP|的最小值为3(或设P(3+2cs θ，2sin θ)，通过三角函数求解)，C项正确；若OP·AC=0，即(m，n)·(2，-3)=0，则点P在直线l：2x-3y=0上，设M是AC与OP的交点，|CM|=613，|PM|=413，|AM|=713，则tan∠CAP=|PM||AM|=47，D项正确.
11.ACD 【命题意图】本题考查函数，要求考生理解函数的概念，了解函数的奇偶性、周期性、单调性的意义.
【解题分析】g(-x)=f((-x)2-1)=f(x2-1)=g(x)，所以g(x)是偶函数，
由题意知f(x2-2x)+f(x2+2x)=0，因为g(x)=f(x2-1)，所以g(1-x)+g(1+x)=0，即g(x)=-g(2-x)，易知g(1)=0，A项正确；
又g(x)=g(-x)，得g(x)=-g(2+x)，即g(2+x)=g(2-x)，所以g(x+2)是偶函数，C项正确；
g(x+2)=-g(x+4)，得g(x)=g(x+4)，所以4是g(x)的一个周期，
f(3)=g(2)=-1，∑i=1202g(i)=50×0+g(1)+g(2)=-1，D项正确；
f(8)=g(3)=-g(1)=0，B项不正确.设f(x)=cs|x+1|π2，满足条件
12.(2，3] 【命题意图】本题考查集合，要求考生能进行集合的运算.
【解题分析】易知B={x|x>0}，∁RB={x|x≤0}，由题意易得A∩(∁RB)={-2，-1，0}，
即-2∈A，-3∉A，解得20)，则p=12a，由题意知94+p2=2×p，即94+14a=2×12a，解得a=13.
14.-2 2-3 【命题意图】本题考查三角函数，要求考生理解三角函数的图象与性质.
【解题分析】由图象的对称性知T2=πω=2π3，得ω=32，f(0)=2sin φ=1，由图象特点可得φ=π6+2kπ，k∈Z，f(x)=2sin32x+π6+2kπ，k∈Z.
不妨设g(x)=2sin32x+π6，可知32x1+π6=5π6，32x2+π6=13π6，32(x2-x1)=4π3，g(x2-x1)=2sin3π2=-2，即f(x2-x1)=-2.若Mt-mt取得最小值，则f(x)在t，t+2π9上的图象关于某条对称轴对称.不妨令32x0+π6=π2，x0=2π9，Mt=f(x0)=2，mt=fx0+π9=3，即Mt-mt的最小值为2-3.
15.【命题意图】本题考查导数，要求考生理解导数的几何意义，体会导数与函数单调性、最值的关系.
【解题分析】(1)当a=2时，f(x)=2ln x-x，f(1)=-1，2分
f'(x)=2x-1，f'(1)=1，3分
所求的切线方程为y=x-2.5分
(2)由题意知f'(x)=ax-1，
当a0，即aln a-a>0，解得a>e，10分
又f(1)=-13.
由(2)知，QA·QB=(x1-1，y1)·(x2-1，y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2，
其中y1y2=k2(x1+2)(x2+2)=k2[x1x2+2(x1+x2)+4]，
计算得QA·QB=0，即QA⊥QB，同理QC⊥QD.
设∠ABQ=∠DCQ=β，则∠ABQ=∠MQB=β=∠DCQ=∠CQN，
得2β=∠CNM=∠QND=∠QMA，在△MFN中，解得2β=π4.13分
设直线AB的方向向量为a=(1，k)，直线CD的方向向量为b=1，-1k，
直线MN的方向向量为n=1，2kk2-1.
则cs 45°=a·n|a||n|=b·n|b||n|，即a·n|a|=b·n|b|，
1+2k2k2-11+k2=k(1−2k2-1)1+k2，即k(k2-3)=3k2-1，
即k3+1-3k(k+1)=(k+1)(k2-4k+1)=0，
则k2-4k+1=0，解得k=2+3或k=2-3(舍去)，15分
由对称性，知可取k=-(2+3)，16分
所求直线l的方程为y=±(2+3)(x+2).17分
(另解一：设直线AB的倾斜角为θ，直线MN的倾斜角为φ，结合图象，
有tanπ4=tan(θ-φ)=1=kAB-kMN1+kABkMN，化简得k(k2-3)=3k2-1，以下同，
或同理有-1=kCD-kMN1+kCDkMN.
另解二：分别作QT，QR垂直于CD，AB，垂足分别为T，R，
|QM|=(2k23−k2-1) 2+36k2(3-k2)2=3(k2+1)k2-3，|QR|=3k1+k2，
由|QM|=2|QR|，得k2+1k2-3=2k1+k2，(k2+1)1+k2=2k(k2-3)，
又N23k2-1，-6k3k2-1，直线CD：x+ky+2=0，|QN|=2|QT|，
同理得(k2+1)1+k2=2(3k2-1)，则k(k2-3)=3k2-1，以下同.)
好的思路：S△ABQS△CDQ=|AB|2|CD|2=|yA-yB|2k2|yC-yD|2，又S△ABQS△CDQ=12|FQ|·|yA-yB|12|FQ|·|yC-yD|，化简后通过韦达定理求解.
19.【命题意图】本题考查数列新定义，要求考生具有较好的数学素养.
【解题分析】(1)因为t=1，a1>0，a2=a1+1>1，所以aj99，不合题意.综上，a5-a2=41.4分
(2)由数列{an}是首项为2的“H(t)数列”，得a2=2+t，a3=3t+4，
数列{bn}是等比数列，设公比为q，
由∑i=1nai2=a1a2a3…an+lg3bn，则∑i=1n+1ai2=a1a2a3…anan+1+lg3bn+1，
两式作差可得an+12=a1a2a3…an(an+1-1)+lg3bn+1-lg3bn，
即an+12=a1a2a3…an(an+1-1)+lg3q.6分
又an+1-a1a2a3…an=t，得an+12=(an+1-t)(an+1-1)+lg3q，即(t+1)an+1=t+lg3q对于n∈N*恒成立，
则(t+1)a2-t=lg3q,(t+1)a3-t=lg3q,即(t+1)(2+t)-t=lg3q,(t+1)(3t+4)−t=lg3q,
由(t+1)(2+t)=(t+1)(3t+4)，解得t=-1，则q=3.
又a1=2，a12=a1+lg3b1，则b1=9，即bn=3n+1，8分
1b1+1b2+…+1bn=132+133+…+13n+1=161-13n1+2n，
则161-13n>161-11+2n=n3(1+2n).
综上，当n≥2时，n3(1+2n)