2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=2，则f′(1)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.已知等比数列{an}满足a1=1，a5=4，则a2a3a4=( )
A. −8B. −16C. 8D. 16
3.已知数列{an}满足a1=1，an=an−1+n(n≥2)，则a4=( )
A. 5B. 10C. 11D. 12
4.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2，则{an}是( )
A. 公差为2的等差数列B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列D. 公比为3的等比数列
6.设{an}为等比数列，则“存在i>j>k，使得ai>aj>ak”是“{an}为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.设f(x)=x3−3x+a有唯一零点，则a的取值范围是( )
A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (2,+∞)D. (−∞,−2)
8.若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则a5的值不可能是( )
A. 4B. 0C. −3D. −6
9.设曲线f(x)=x2−1(x>0)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，则当S(t)取得最小值时，t的值为( )
A. 33B. 12C. 2D. 3
10.在下列不等式中，当k≥1时，关于x的不等式对任意的x∈(0,+∞)不能恒成立的是( )
A. kx>sinxB. kx>x−x3C. kx>1−e−xD. kx>x−1ln(ex)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.数列{an}满足an+2=an+1+an，且a1=a2=1，则a5= ______．
12.将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xℎ时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2−7x+15(0≤x≤8)，则第3ℎ时，原油温度的瞬时变化率为______℃/ℎ，此原油温度瞬时变化率的意义是______．
13.已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为______．
14.已知函数f(x)=x−aex(a∈R).当a=0时，f′(x)= ______；若曲线y=f(x)有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
15.已知函数f(x)=x−1,01.数列{an}满足a1>0，当n≥2时，an=f(an−1).给出下列四个结论：
①若a1= 2，则a2=a5；
②若a3=2，则a1可能有4个不同的取值；
③对于任意的a1>2，不一定存在正整数m，使得∀n∈N∗，an+m=an；
④对于任意的正整数m≥2，一定存在实数a1>1，使得∀n∈N∗，an+m=an．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3+3x2．
(Ⅰ)求f(x)在区间[−2,1]上的最值；
(Ⅱ)在直角坐标系内，画出f(x)的大致图象；
(Ⅲ)直接写出一个a值，使f(x)在区间(a,a+5)上存在最大值．
17.(本小题14分)
已知等差数列{an}满足a2+a4=10，a4−a3=−2．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn的最大值；
(Ⅲ)若等比数列{bn}满足b2=a4，b3=a6，问：{bn}是否存在最大值与最小值？说明理由．
18.(本小题14分)
已知无穷数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1．
(Ⅰ)求b1，b2的值；
(Ⅱ)证明：数列{bn}是等比数列，写出数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn，并判断数列：S1，S2，S3，…，Sn，…的单调性．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=(x2−a)ex．
(Ⅰ)若f′(0)=1，求a的值；
(Ⅱ)设a∈R，讨论函数f(x)的极值点个数；
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,2)上存在极值，求实数a的取值范围．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx．
(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l．
(i)求切线l的方程；
(ii)证明：除切点外，曲线y=f(x)在切线l的下方；
(Ⅱ)设m>0，令函数g(x)=f(x)−f(m)x−m，求函数g(x)的单调区间．
21.(本小题15分)
给定项数为n(n≥3)的数列{xn}，若数列{xn}满足|xm+1−xm|≤|xm+1−xm+2|(m=1,2,…,n−2)，则称数列{xn}具有性质P，定义ak=|xk+1−xk|(k=1,2,…,n−1)．
(Ⅰ)判断数列1，2，4，6是否具有性质P，并说明理由；
(Ⅱ)若数列{xn}具有性质P，求证：{xn}为等差数列的必要不充分条件是{an}为常数列；
(Ⅲ)已知数列{xn}共有n项，各项互不相等，对于∀i≤n(i∈N∗)，xi∈{1,2,3,…,n}，若{xn}具有性质P，记Sn−1=a1+a2+…+an−1，且Sn−1=n+2，求n的所有取值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.D
5.A
6.B
7.B
8.D
9.A
10.D
11.5
12.−1 第3ℎ附近，原油温度大约以1℃/ℎ的速率下降
13.1，−2，4(答案不唯一)
14.1−xex (−∞,−4)∪(0,+∞)
15.①③④
16.解：(I)f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，
因为−2≤x≤1，
当−2≤x≤0时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，当00，f(x)单调递增，
故x=0时，函数取得最小值f(0)=0，
因为f(−2)=4，f(1)=4，
故函数的最大值为4，最小值为0；
(Ⅱ)当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→−∞时，f(x)→−∞，
f(x)的大致图象如图所示：
(Ⅲ)当a−1时，即Δ=4+4a>0，x2+2x−a=0，有两个不等的实根x1=−1− 1+a,x2=−1+ 1+a．
所以在(−∞,−1+ 1+a)和(−1+ 1+a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；
在(−1− 1+a,−1+ 1+a)上，f′(x)