2024-2025学年甘肃省酒泉市四校联考高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省酒泉市四校联考高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=xex，则f′(3)=( )
A. 3e3B. 4e3C. 2e3D. 4e2
2.已知点A(3,2,4)，B(4,5,7)，则AB=( )
A. 19B. 10C. 19D. 10
3.已知空间向量a=(x,1,1)，b=(2,2,−1)，若a⊥b，则x=( )
A. −1B. 1C. −12D. 12
4.已知函数f(x)=xx−1，则曲线y=f(x)在点2,f(2)处的切线方程为( )
A. x−y−4=0B. x−y+4=0C. x+y+4=0D. x+y−4=0
5.已知平面α的一个法向量为n=(1,1,1)，点M在α外，点N在α内，且MN=(1,−2,−2)，则点M到平面α的距离为( )
A. 33B. 3C. 62D. 6
6.在空间直角坐标系O−xyz中，OA=(−1,2,1)，OB=(1,1,2)，OP=(2,1,1)，点Q在直线OP上运动，则QA⋅QB的最小值为( )
A. −32B. −23C. 32D. 23
7.已知函数f(x)=x(x+c)2在x=2处有极大值，则c=( )
A. −6B. −2C. 2D. 6
8.设函数f(x)=lnx,x>0,ex(x+1),x≤0,若函数f(x)的图象与直线y=b有两个交点，则实数b的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. −1e2,0
C. −1e2,0∪(1,+∞)D. (0,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π3，A1C1与B1D1交于点M.设AB=a，AD=b，AA1=c，则下列说法正确的有( )
A. AC1=a+b+cB. CM=12a−12b+c
C. AB⋅AC1=8D. CM与AC1的夹角为π2
10.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f′(x)的图象如图，则以下结论正确的有( )
A. 函数f(x)在区间(2,4)上单调递减B. 函数f(x)在区间(1,3)上单调递减
C. 当x=−12时，函数f′(x)有极大值D. 当x=−2时，函数f(x)有极小值
11.已知函数fx=e2x−2ax−1，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=2x，则a=1
B. 若a=1，则函数fx在0,+∞上单调递增
C. 若a>e2，则函数fx在1,+∞上的最小值为a−alna−1
D. 若fx≥0，则a=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=f′π8cs2x−sin2x，则f′π8= ．
13.已知函数f(x)=2x2+lnx−ax在区间(0,2]上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
14.已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)，则以AB，AC为边的平行四边形的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)如图，已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,CD,AD的中点，用空间向量法证明E,F,G,H四点共面．
(2)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°.求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知f(x)=alnx+x2−3b，曲线y=f(x)在点e,fe处的切线方程为y=2e2+4ex−e2+1．
(1)求实数a,b的值；
(2)若g(x)=a12x3−4b，求曲线y=g(x)过点(2,4)的切线方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点．

(1)证明：EF⊥平面PCD；
(2)求平面ABCD和平面EFC的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2x3−ax2+b．
(1)当a=3时，求f(x)的极值；
(2)若a>0，求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=kx−lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)已知f(x)在[1,4]上的最小值为2，求k的值；
(3)若k=1，且m−f(x)≤xex−2x，求m的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.C
7.A
8.C
9.ACD
10.ACD
11.BCD
12. 2−2或−2+ 2
13.(−∞,4]
14.7 3
15.解：(1)证明：以AB,AC,AD为空间的一组基．
∵E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,AD的中点，
∴EH=AH−AE=12AD−12AB=12AD−AB，
AF=12AB+AC，AG=12AD+AC．
∴FG=AG−AF=12AD+AC−12AB+AC=12AD−AB，∴EH=FG．
∵EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，∴EH/\!/FG，∴E,F,G,H四点共面．
(2)解：以AB,AD,AA1为空间的一组基，
AC=AB+AD，BD1=BD+DD1=AD−AB+AA1．
∵AB=AD=a，AA1=b，∠BAD=90°，∠A1AB=∠A1AD=120°，
∴AB⋅AD=0，AB⋅AA1=AD⋅AA1=a⋅b⋅cs120°=−ab2．
∴AC=AB+AD= AB2+2AB⋅AD+AD2= a2+a2= 2a，
BD1=AD−AB+AA1= AD2+AB2+AA12−2AB⋅AD−2AB⋅AA1+2AD⋅AA1= 2a2+b2．
∵AC⋅BD1=AB+AD⋅AD−AB+AA1
=AB⋅AD−AB2+AB⋅AA1+AD2−AD⋅AB+AD⋅AA1
=−a2−ab2+a2−ab2=−ab，
∴csAC,BD1=AC⋅BD1ACBD1=−ab 2a⋅ 2a2+b2=−b 4a2+2b2．
设异面直线BD1与AC所成角为θ，则csθ=−csAC,BD1=b 4a2+2b24a2+2b2．
16.(1)解：由函数f(x)=alnx+x2−3b，其中x>0，可得f′(x)=ax+2x,x>0，
因为曲线y=f(x)在点e,fe处的切线方程为y=2e2+4ex−e2+1，
可得fe=e2+5，且f′e=2e2+4e，即a+e2−3b=e2+5ae+2e=2e2+4e,
解得a=4,b=−13．
(2)解：由(1)知，g(x)=x33+43,x∈R，可得g′(x)=x2，
设切点为x0,y0，则切线的斜率k=x02，故切线方程为y−x033−43=x02x−x0，
因为切线过点(2,4)，所以4−x033−43=x022−x0，整理得x0+1x0−22=0，
解得x0=2或x0=−1，所以切点为(2,4)或(−1,1)，
此时，曲线y=g(x)过点(2,4)的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．
17.解：(1)因为四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，
所以AB、AD、AP两两相互垂直．
以点A为坐标原点，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，E(1,0,0)，F(1,1,1)，
所以EF=(0,1,1)，DC=(2,0,0)，DP=(0,−2,2)，CE=(−1,−2,0)．
因为EF⋅DP=0×0+1×(−2)+1×2=0，所以EF⊥DP，即EF⊥DP，
因为EF⋅DC=0×2+1×0+1×0=0，所以EF⊥DC，即EF⊥DC．
又因为DP、DC⊂平面DCP，DP∩DC=D，所以EF⊥平面PCD．
(2)易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)．
设平面EFC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅EF=y+z=0n⋅CE=−x−2y=0,
令y=−1，得x=2，z=1，
所以n=(2,−1,1)为平面EFC的一个法向量，
因为csm,n=m⋅nmn=11× 6= 66，
所以平面ABCD和平面EFC的夹角的余弦值为 66．
18.解：(1)∵当a=3时，f(x)=2x3−3x2+b，
f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，
∴当x1时，f′(x)>0，当0