2024-2025学年上海实验学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海实验学校高二（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，O型、A型、B型和AB型血的学生依次有300，200，180，120人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( )
A. ①②都采用简单随机抽样
B. ①②都采用分层随机抽样
C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
2.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球
C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球
3.已知x2−y2=3的两条渐近线与直线x=4围成三角形区域，那么，表示该区域的不等式组是( )
A. x−y≥0x+y≥00≤x≤4B. x−y≥0x+y≤00≤x≤4C. x−y≤0x+y≤00≤x≤4D. x−y≤0x+y≥00≤x≤4
4.有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤n0)的一条渐近线方程为y=12x，则a=______．
10.已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如表：
若回归方程为y =1.4x+1.2，则a= ______．
11.随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响.现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2= ______.(结果精确到0.001)
12.设随机变量ξ的分布列如下：
①P(ξ≤2)=1−P(ξ≥3)；
②当an=12n(n=1,2,3,4)时，a5=124；
③若{an}为等差数列，则a3=15；
④{an}的通项公式可能为an=1n(n+1)．
其由所有正确命题的序号是______．
13.上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y−4=0，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：(1)若军营所在区域为Ω：x2+y2≤1；(2)若军营所在区域为Ω′：|x|+2|y|≤2；试问军营在(1)(2)两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为______．
14.2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二(6)班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为______．
三、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
(1)若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
(2)若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
16.(本小题12分)
已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2 3，离心率为 63.直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A、B．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l的方程为：y=x+t，椭圆上点M(−32,12)关于直线l的对称点N(与M不重合)在椭圆Γ上，求t的值．
17.(本小题14分)
某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．
18.(本小题14分)
某市YC中学体育节开展趣味运动比赛，其中A、B两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，或者5局比赛结束积分领先赢得最终胜利.假设每局比赛中A班获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立．
(1)求趣味比赛A班以3比1赢得最终胜利的概率；
(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为X，求X的分布及数学期望．
19.(本小题14分)
马尔可夫链是因俄国数学家安德烈⋅马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第1次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为12，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn，
①证明：{Pn−25}为等比数列；
②当n≥2时，Pn≤m恒成立，求m取值范围．
20.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x23−y2=1.对平面内不在Γ上的任意一点P，记ΩP为过点P且与Γ有两个交点的直线的全体.对任意直线l∈ΩP，记M，N为l与Γ的两个交点，定义fP(l)=|PM|⋅|PN|.若存在一条直线l0∈ΩP满足：l0与Γ的两个交点位于y轴异侧，且对任意直线l∈ΩP，l≠l0，均有fP(l)>fP(l0)，则称P为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.710
6.32.5
7.36
8.207
9.2
10.2

12.①②③
13. 17−1− 5
14.Pn=15−15×(−14)n−1
15.解：(1)标签的选取是无放回的，
则样本空间Ω1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)共6个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率P1=612=12．
(2)标签的选取是有放回的，
则样本空间Ω2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)共6个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率P2=616=38．
16.解：(1)因为椭圆的长轴长为2 3，
所以2a=2 3，
解得a= 3，
因为椭圆的离心率为 63，
所以e=ca= 63，
所以c= 2c= 2，
又b2=a2−c2=1，
则椭圆Γ的标准方程为x23+y2=1；
(2)由题意得M(−32,12)关于直线l：y=x+t的对称点N(12−t,−32+t)，
因为点N在椭圆上，
所以(12−t)2+3(−32+t)2=3，
整理得2t2−5t+2=0，
解得t=2或t=12，
当t=2时，N(−32,12)，
此时点N与点M重合，不符合题意．
所以t=12．
17.解：(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以(0.045+0.020+a)×10=0.7，
解得a=0.005，
所以前两组的频率之和为1−0.7=0.3，
即(a+b)×10=0.3，所以b=0.025；
平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，
(2)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e，
这5人中选出2人，所有情况有10种情况，分别为：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d).(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，
其中选出的两人来自同一组的有：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为610=35．
18.解：(1)记事件C=“A班以3比1赢得最终胜利“，
则第一局和第二局A、B两个班级各胜一局，第三局，第四局A班获胜时，此时A班以3比1赢得最终胜利，
因此P(C)=C21(1−23)×23×(23)2=1681；
(2)根据题意可得X的可能取值为2，4，5，
当X=2时，即A班前两局获胜，或者B班前两局获胜，
则P(X=2)=(23)2+(1−23)2=59．
当X=4时，则第一局和第二局A、B两个班级各胜一局，第三局，第四局A班获胜，或者第一局和第二局A、B两个班级各胜一局，第三局，第四局B班获胜，P(X=4)=C21(1−23)×23×(23)2+C21(1−23)×23×(1−23)2=2081；
当X=5时，则第一局和第二局A、B两个班级各胜一局，第三局，第四局A、B两个班级各胜一局，
则P(X=5)=C21(1−23)×23×C21(1−23)×23=1681；
所以X的分布为：
所以X的数学期望为E(X)=2×59+4×2081+5×1681=25081．
19.解：(1)设A2为“第2天选择米饭套餐”，A1为“第1天选择米饭套餐”，
那么A1−为“第1天不选择米饭套餐”，
根据题意可得P(A1)=23,P(A1−)=13,P(A2|A1)=14,P(A2|A1−)=1−12=12，
根据全概率公式可得：P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1−)=23×14+13×12=13．
(2)①证明：设An为“第n天选择米饭套餐”，那么Pn=P(An),P(An−)=1−Pn，
根据题意可得P(An+1|An)=14,P(An+1|An−)=1−12=12，
根据全概率公式可得：
Pn+1=P(An+1)=P(An+1|An)+P(An−)P(An+1|An)=14Pn+12(1−Pn)=−14Pn+12，
所以Pn+1−25=−14(Pn−25)，又因为P1−25=415≠0，
因此数列{Pn−25}是以−14为公比，415为首项的等比数列．
②根据①可得Pn=25+415×(−14)n−1，
当n为正偶数时，Pn=25−415×(14)n−13sin2θ−cs2θ.
③当l的倾斜角θ满足③时，由①中参数t的几何意义及fP(l)的定义，
可知fP(l)=|t1|⋅|t2|=|3b2+3−a2||3sin2θ−cs2θ|，|3b2+3−a2|>0．
当l与Γ交于y轴异侧两点时，由双曲线Γ的性质知θ∈[0,π6)∪(5π6,π)．
此时3sin2θ−cs2θfP(l0)，
所以0