江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研检测数学试题（解析版）

这是一份江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研检测数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了作答非选择题时必须用黑色字迹0，2B， 若随机变量下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置 ，否则不给分．
2.答题前 ，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．
3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上 ，作答选择题必 须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑 .如需改动 ，请用橡皮擦干净后 ，再选涂其 它答案 ，请保持答题纸清洁 ，不折叠、不破损 .
第Ⅰ卷 （选择题 共 58分）
一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1. 已知，那么（ ）
A. 5B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】因为，
所以，
则.
故选：C.
2. 已知向量，且，则x的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】根据可得存在实数满足，
即，
即可得，解得.故选：D
3. 已知事件，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，，
故选：A．
4. 某射手射击所得环数的分布列如下表：
已知的数学期望，则的值为（ ）
A. 0.2B. 0.5C. 0.4D. 0.3
【答案】C
【解析】由表格可知，,解得.
故选：C
5. 为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记甲、乙、丙三位同学选到互不相同题目的事件记为，
则，
故选：C.
6. 设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由题意可得或，
故，
解得，故选：D
7. 已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，
，若和相交于点．则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示：

根据题意可知令，且，；
可得
；
所以
.
故选：D
8.二进制数是用0和1表示的数,它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”,二进制数()对应的十进制数记为,即 ，其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ）
A. 1910B. 1990C. 12252D. 12523
【答案】D
【解析】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28．
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为
故选：D．
二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
9. 若随机变量下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，若随机变量，，则，故A正确；
对于B，期望，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB
10. 在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. 与共面
B. 与夹角为
C. 平面与平面夹角的正弦值为
D. 若正方体棱长为2，则点到直线的距离
【答案】ACD
【解析】选项A，因为，所以与，共面，
即选项A正确；
选项B，连接，
因为，所以或其补角即为与的夹角，
因为，所以△是等边三角形，所以，
所以与夹角为，即选项B错误；
选项C，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则,,，，
所以,1,，,2,，
设平面的法向量为,,，则，
取，则，，所以,1,，
易知平面的一个法向量为,0,，
设平面与平面夹角为，
则,，
所以，即选项C正确；
选项D，由对称性知，，
由勾股定理知，，
设到直线的距离为，
因为，
所以，解得，
所以到直线的距离为，即选项D正确．
故选：ACD．
11. 甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中,再从乙箱中摸出2个球,分别用表示从甲箱中摸出的球是红球,白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，，，故A正确；
若发生，则乙箱中有4个红球和3个黑球，所以，
若发生，则乙箱中有3个红球，1个白球和3个黑球，所以，故B正确；
若发生，则乙箱中有3个红球和4个黑球，所以，
故C错误；
所以
，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷 （非选择题 共 92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）
12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是， ，那么两人都解错的概率是__________.
【答案】
【解析】由题意知，甲、乙解对题的概率分别是和 ，且甲、乙两人相互独立，
所以两人都解错的概率为.
故答案为：.
13. 展开式中的系数为__________.
【答案】
【解析】得项类型一：从6个因式中选择1个提供，5个提供2，
此时的系数为；
类型二：从6个因式中选择2个提供，4个提供2，
此时的系数为；
合并同类项，含的项为.
故答案为：.
14. 某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示）
（1）有________种不同的安排方法；
（2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法．
【答案】（1）540
（2）100
【解析】（1）6位同学分为3组可以分三类.
第一类：1人，1人，4人分组，有种；
第二类：1人，2人，3人分组，有种；
第三类：2人，2人，2人分组，有种.
根据分类加法计数原理，共种.
再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.
根据分步乘法计数原理，共种.
（2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆.
按照去涟水战役烈士纪念馆人数可以分为3类.
第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种.
第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种.
第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种.根据分类加法计数原理，共种.
故答案为：540；100.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，
求：（1）的值；（2）展开式中的常数项．
解：（1）
（舍去）．
（2） 展开式的第项是，
，
故展开式中的常数项是．
16. 2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种?
（2）全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种?
（3）甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种?
解：（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可全排种，
故共有种；
（2）先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（3）共七人排队，甲、乙两人中间有2个人的排法有种，
甲、乙两人中间有3个人的排法有种，
甲、乙两人中间有4个人的排法有种，
甲、乙两人中间有5个人的排法有种，
则共有种排法.
17. 甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：
（1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；
（2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．
解：（1）一轮比赛中，甲得分的可能取值为，
，
则的概率分布列为：
（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，
，
，
，
，
所以甲的得分的均值为，
甲得分的方差为
，
甲的得分的均值与方差分别为.
18. 如图，在三棱柱中,平面，已知，点是棱的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值.
（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）中，
，
即，所以，，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
即，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，即，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）假设存在满足题意的点，且，即，
，
设与平面所成角为，
则，
解得或，所以存在满足题意的点，且或．
19. 已知函数，其中，．
（1）若n＝8，，求的最大值；
（2）若，求；（用n表示）
（3）若，求证：．
解：（1），
，
不妨设中，则
，
中的最大值为；
（2）若，，两边求导得，
令得，.
（3）若，，
，
因为，
所以
．7
8
9
10
0.1
0.3