江西省南昌新民外语学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份江西省南昌新民外语学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列中，，，则公差（ ）
A．B．1C．D．
2．记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．13B．45C．104D．130
3．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（ ）
A．B．C．D．
4．数列中，，，，那么（ ）
A．B．1C．3D．
5．设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．当时，取得最大值
C．D．使得成立的最大自然数是15
6．已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．2020D．2021
8．等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，则（ ）
A．
B．当且仅当时，取得最小值
C．
D．的正整数的最大值为12
10．若数列满足，则（ ）
A．是等比数列B．
C．中各项均不为D．
11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设各层球数构成一个数列，是其前项和，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是等比数列，且，，则 ．
13．若数列的通项公式是，则
14．已知数列、满足，，，设数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，则正整数的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列数列的通项公式及前项和.
(1)若等差数列满足，；
(2)若等比数列满足，.
16．已知数列为等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和的最大值．
17．设数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．已知数列的前n项和，数列的前n项和．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求的前n项和．
19．记数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
参考答案
1．【答案】C
【详解】等差数列中，，，
由等差数列的通项公式，可得解得.
故选C.
2．【答案】C
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
则.
故选C.
3．【答案】A
【详解】由于，
若，则，
而，则，所以不符合题意.
当且时，，
即，
即，
则.
故选A.
4．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，所以，所以是以6为周期的周期数列．
因为，所以．
故选B.
5．【答案】D
【详解】对于A，因为等差数列中，，，
所以，，，A正确；
对于B，由题意可知数列为递减数列，且当时，，当时，；
所以可得时，取得最大值，B正确；
对于C，由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确；
对于D，易知，，
故成立的最大自然数，D错误．
故选D．
6．【答案】D
【详解】因为，
所以当时，，，，，
所以，又，
所以当时，，
当时，也满足关系，
所以，，
所以当时，取最小值，最小值为，
故选D.
7．【答案】C
【详解】解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选C.
8．【答案】D
【详解】等差数列的前项和分别为和，，
所以
.
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】对于，因为，所以，因为，解得，故A正确；
对于，注意到，故时，时，，
所以当或时，取得最小值，故B错误；
对于，
所以，故C正确；
对于D，，因为，
所以，所以，所以，正整数的最大值为12，故D正确，
故选ACD．
10．【答案】BD
【详解】选项A和C：取代入题干中得：.所以不是等比数列.故AC错误.
选项B：取代入得：；取代入得：.
所以，故B正确.
选项D：.故B正确.
故选BD.
11．【答案】BC
【详解】由题意可知，，，，…，，故．
所以，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
因为，，
所以，故选项D错误．
故选BC.
12．【答案】
【详解】因为是等比数列，设其公比为，则，
由等比数列的性质可得，故.
13．【答案】3036
【详解】因为，
所以，，，，
所以.
14．【答案】
【详解】因为数列、满足，，，
则，且，
所以，数列是首项和公比都为的等比数列，
所以，，则，
因为，则数列单调递增，
所以，数列最小项的值为，
若存在使得对任意的都成立，则，
所以，，解得，
所以，正整数的最小值为.
15．【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，
所以，.
（2）设等比数列的公比为，
因为，所以，所以，
则.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以.
（2）由，解得，
而，数列是单调递减数列，
所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数，
所以时，数列前项和的最大值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，得.
当时，，所以.
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
故.
（2）由已知得，
所以
.
18．【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为数列的前n项和，
所以当时，，
当时，，
满足上式，故；
因为数列的前n项和，
所以当时，，
当时，，
满足上式，
故；
（2）因为，
所以，
则，
两式相减得，
化简得．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，
当时，，
两式相减得，①
则，②
②①得，
所以.
因为，
又，所以当时，；
当时，，则，
所以，满足，
所以，故数列为等差数列.
（2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，
则，
所以.