江苏省海安高级中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段检测 数学试题（含解析）

这是一份江苏省海安高级中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段检测 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ）
A．B．C．D．
3．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
4．现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）

A．180种B．192种C．300种D．420种
5．若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若函数无极值点，则没有零点
B．若函数无零点，则没有极值点
C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点
D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点
10．已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．在上为减函数B．当时，
C．D．在上有且只有1个零点
11．已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
13．函数的最小值为 .
14．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：.
16．已知，，，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围.
17．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线BM与平面所成角的正弦值．
18．已知函数 ．
1 求的单调区间；
2 当 时，证明：当时， 恒成立．
19．设函数.
（1）当时，证明：；
（2）若在上为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】
又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
所以其斜率，
所以，解得，
所以点P横坐标的取值范围为，
故选D.
2．【答案】C
【详解】圆柱的体积=圆锥的体积×2 ，
即圆柱底面积×圆柱的高=圆锥的底面积×圆锥的高÷3×2 ，
由此推出：圆柱的底面积×圆柱的高=圆柱的底面积×圆锥的高，
整理得，圆柱的高=圆锥的高，圆柱的高÷圆锥的高=，
所以，圆柱的高是圆锥高的.
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选A.
4．【答案】D
【详解】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择，
若区域与区域同色，此时区域有种选择，
若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择，
故有种涂色方法.
故选D
5．【答案】B
【详解】函数的定义域为，，
又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，
由，所以方程有两个不同的正实数，
所以，即.
故选B
6．【答案】B
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选B.
7．【答案】B
【详解】由题意得，函数定义域为.
∵，∴，
∵且，∴，则，
∵，∴，解得，
当时，，，不合题意，
∴的取值范围是.
故选B.
8．【答案】C
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，，
所以，
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时，
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：，
所以，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选C.
9．【答案】AD
【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.
【详解】
，设
若函数无极值点则，则，
此时，即，所以，没有零点，如图①；
若函数无零点，则有，此时，
当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数恰有一个零点，则，
此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以A,D正确.
故选AD.
10．【答案】BCD
【详解】由，可得．
令，
则当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
可得，所以，所以C正确；
因为，所以当时，，
又因为，所以当时，，所以B正确；
由是定义在上的奇函数，故当时，，
又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确．
因为的单调性无法判断，所以A错误．
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
且当时，，如下图所示：

当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
对于A选项，由已知可得，消去可得，A对；
对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错；
对于C选项，设，因为，则，
所以，，，
则，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，故，C对；
对于D选项，，
构造函数，其中 ，则，
所以，函数在上单调递减，则 ，D对.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
令得，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有极小值，
因为函数在上存在最小值，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
13．【答案】1
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
14．【答案】
【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图象及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根．
15．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为是平行四边形，故为中点，
又为侧棱的中点，故.
又平面，平面，故平面.
（2）因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面平面，平面，
所以.
16．【答案】(1)答案见详解
(2)
【详解】（1）由题意得，函数定义域为.
∵，∴.
若，则，在上单调递减.
若，令得，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
∵，∴，
∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为.
由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立，
将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集.
由得，，故函数的值域为，
∴.
∵，
∴，解得或，
∴实数b的取值范围是.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直；
（2）利用法向量方法求解线面角.
【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，.
设平面PCD的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
设平面PAC的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
因为，
所以，所以平面平面．
（2）由（1）知，，所以，，
因为，所以，即，解得，
故，所以，由（1）知，
设直线BM与平面PCD所成的角为，
则，
故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）定义域为， ，
当 时， ，故 在上单调递减，
当时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
综上所述，当时， 在 上单调递减，
当时， 在上单调递增，在 上单调递减；
2 证明：当时， ，
令，下证即可，
，再令 ，则 ，
显然在 上递增，则 ，
即 在 上递增，
故 ，即在上单调递增，
故即当时，，问题得证．
19．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）当时，.
因为是偶函数，先证当时，.
由，设，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以.
因为是偶函数，所以当时，，.
综上，.
（2）由，得.
因为在上为增函数，所以对恒成立.
①当时，恒成立，此时；
②当时，即对恒成立.
令，.
由（1）知在单调递增，所以，即，所以，
所以，解得，即a的取值范围为.
（3）由（1）可知，当，时，，即，
当且仅当时，等号成立.
令，，则，
即.
由（2）可得，当时，.
因为，所以，即.
所以
.
所以.