广东省江门市新会区第一中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市新会区第一中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（ ）种.

A．4B．5C．6D．8
2．曲线在点处的切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列选项正确的是（ ）
B．
C．D．
4．数列是等比数列，，，则（ ）
A．B．C．D．1
5．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15B．17C．19D．21
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（ ）
A．B．C．D．
8．定义在的函数的导函数为，已知且，则下列结论正确的是（ ）
A．在单调递增B．在单调递减
C．在上有极小值D．在上有极大值
二、多选题（本大题共3小题）
9．若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．和均为的最大值D．
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象在的切线的斜率为0
B．函数在上单调递减
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值
11．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．极大值点仅有一个
C．无最大值，有最小值
D．当时，关于的方程共有3个实根
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的单调递增区间为 .
13．有 个不同的正因数.
14．在数列中，，，且对任意的，都有，则的通项公式为 ；若，则数列的前项和 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
16．已知函数在处有极值2.
(1)求，的值：
(2)求函数在区间上的最大值.
17．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
18．已知数列的首项，且满足.
(1)设，求证：数列为等比数列；
(2)设数列前n项和为，求；
(3)若，求满足条件的最大整数.
19．已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】接通电源使灯泡发光的方案可分为两类：第一类，闭合中的一个开关，共2种方法；
第二类，闭合中的一个开关，共3种方法.根据分类加法计数原理可知.
故选B.
2．【答案】C
【详解】∵，
∴，，
根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选C.
3．【答案】C
【详解】对于选项A， 故A错误；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误；
故选C.
4．【答案】A
【解析】分析出，再结合等比中项的性质可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由等比中项的性质可得，因此，.
故选A.
5．【答案】C
【详解】设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为，则，
设所有的偶数项和为，则，
由，解得，
项数.
故选C.
6．【答案】B
【详解】函数，求导得，
由函数在上单调递减，得，，
则，，而恒成立，因此，
所以实数的取值范围是.
故选B.
7．【答案】A
【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，
边长是相邻前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，
即有，因此数列是首项，公比为的等比数列，
故，则.
故选A.
8．【答案】C
【详解】令，则，即且为常数，
又，则，故，
所以，则，
当时，即在上单调递减，
当时，即在上单调递增，
所以处取极小值.
故选C.
9．【答案】AC
【详解】，则，，则，
因此，且，故A正确，B错误；
而且均为的最大值，故C正确；
，故，故D错误.
故选AC.
10．【答案】AD
【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误；
由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，
故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．
故选AD.
11．【答案】BC
【详解】对于A选项，当时，，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，故A错误；
对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，
当时，，则，此时函数单调递增，
当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，
综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确；
对于C选项，当时，，
当时，，
所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确；
对于D选项，如下图所示：

由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误.
故选BC.
12．【答案】和
【详解】，令
解得或从而的单调递增区间为和
13．【答案】
【详解】，它的正因数即为的幂的乘积，
因此正因数个数为.
14．【答案】
【详解】因为，，所以.
因为，所以，
又，则有，
所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
由题意可得，
则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列.
所以当为偶数，且时，
；
当为奇数，且时，为偶数，
.
时，，满足.
所以，当为奇数，且时，有.
综上，.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为数列为等比数列，设数列的公比为，
又，，所以，解得，所以，
又数列的前项和为①，
当时，②，由①②得到，
又，，所以，则，满足，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
16．【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）因为函数在处有极值，且，
所以，解得，
故.
（2）由（1）得：，，
又，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增
故的最大值是或，
而，，
故函数的最大值是2.
17．【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，则，
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，数列满足，可得，
所以，又，所以，
则为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（3）由（1）知，所以，
设数列的前项和为，
则
，
若，即，令，
则，
所以数列为递增数列，又，，
所以满足的最大整数的值为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）要证，只需证，故令，
则恒成立，即在上单调递增，
故，即当时，；
（2）先证明左半部分：，
由（1）知当时，，令，其中，则，
代入上述不等式，得，即，
对该不等式的取值从到进行累加即得；
再证明右半部分：，
由左半部分的证明过程可知，只需证明，即只需证，
故令，则恒成立，
即在上单调递减，所以，即当时，，
令，其中，则，代入上述不等式，
得，即，
对该不等式的取值从到进行累加即得，
故.