安徽省亳州市第二完全中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（B卷）（含解析）

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这是一份安徽省亳州市第二完全中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（B卷）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．等差数列前n项和为，，则（）
A．32B．42C．52D．62
2．的展开式中的系数为（）
A．10B．20C．40D．80
3．设随机变量，且，则实数的值为（）
A．3B．4C．5D．6
4．7名学生站成一排，若甲、乙相邻，但都不和丙相邻，则不同的排法种数是（）
A．480B．960C．720D．360
5．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（）
A．9.6B．10C．10.6D．9.4
6．已知数列是递增数列，且，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
7．下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（）
①若X服从二项分布，则；
②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且；
③若X的方差为，则；
④已知，，则．
A．②③B．①③C．①②D．①④
8．两等差数列，的前n项和分别为，，且，则
A．B．C．D．2
二、多选题
9．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）
A．看不清的数据的值为34
B．具有正相关关系，相关系数
C．第三个样本点对应的残差
D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨
10．等差数列的前项和记为，若，则成立的是（）
A．
B．的最大值是
C．
D．当时，最大值为
11．下列命题中正确的是（）
A．设随机变量，若，则
B．一个袋子中有大小相同的3个红球，2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为x，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则当时概率最大
三、填空题
12．数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝．
13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有人.
附：，其中， .
14．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型拟合比较合适.令，得到，经计算发现，满足下表，则， .
四、解答题
15．记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求公差及的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
16．随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：
（1）求广告费投入与年份代号之间的线性回归方程；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关？
附：①回归直线中
②，其中.
17．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，
（1）证明：平面
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
18．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，．
19．已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
（1）求的方程；
（2）若的斜率为1，求；
（3）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由等差数列得：，
，即，
；
故选C．
2．【答案】C
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为，所以正态分布密度曲线的对称轴为，
因为，所以.
故选B.
4．【答案】B
【详解】先将甲、乙捆绑，看作一个元素，有种排法，
然后将除甲、乙、丙之外的4名学生全排列，有种不同的排法，
再将甲、乙、丙插入5个空中的两个，有种不同的排法，
因此，一共有种不同排法.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由和，得．
所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，，
由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为，
代入，求得，
故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为．
将代入经验回归方程，得．
故选A.
6．【答案】C
【详解】由题意得，
解得，
则a的取值范围是.
故选C
7．【答案】C
【详解】若X服从二项分布，则，①正确；
选出女学生干部的人数为X的值为，且服从超几何分布，
所以，②正确；
若X的方差为，则，③错误；
因为，，所以，④错误.
故选C.
8．【答案】C
【详解】由等差数列的前项和，依题意有，
所以,
所以，故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，由回归直线方程得，则，A正确；
对于B，由回归直线方程及数表知，具有正相关关系，而相关系数的绝对值不超过1，B不正确；
对于C，第三个样本点对应的残差，C正确；
对于D，在回归直线方程中，时，生产能耗约(吨) ，D正确.
故选ACD
10．【答案】BC
【详解】设等差数列的公差为，
，A选项错误.
所以，C选项正确.
所以的最大值是，B选项正确.
由于时，，是单调递减数列，
所以当时，没有最大值，D选项错误.
故选BC
11．【答案】ABD
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，可取，，，
，则，故B正确；
对于C，若，则，
解得，则，故C错误；
对于D，若随机变量，则，
由，得，
解得时概率最大，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】当时,,
当时,,
显然不符合,
故通项公式.
13．【答案】30
【详解】设男生人数为x，由题意得列联表如下；
计算
解得
又，
所以，
即根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人.
14．【答案】1.3
【详解】解：由表知，，，
由恒过点，知，解得，
，即，
，
，．
15．【答案】（1），；（2），最小值为.
【详解】（1）设的公差为，由题意得，再由可得，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）得，从而可求出其最小值
【详解】（1）设的公差为，由题意得.
由得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）得.
所以时，取得最小值，最小值为
16．【答案】（1）
（2）不能认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关
【详解】（1），，
则，
则，故；
（2）由题以可得
，
依据小概率值的独立性检验，没有的把握认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度具有相关性.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
在中，由可得
因为，且O是BD中点，
所以，，
因为，，，所以，所以
又因为BD，平面ABCD，，所以平面
（2）由（1）及可知，OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，，则，
设平面PBC的法向量，
由，，
有，
取，则，，
可得平面PBC的一个法向量，
设平面PAD的法向量，
由，，
有，
取，则，，
可得平面PAD的个法向量，
所以平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值为
18．【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【分析】（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，
，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．
【详解】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
【关键点拨】1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．
19．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）

解：由，可得，解得，
点是上一点，所以，解得，
所以的方程为．
（2）解：的方程为，
联立即，
设，，则，，
所以弦长．
（3）证明：设，，，易知，，
直线与双曲线联立得，
所以
所以
，
故是定值．2
3
4
5
6
19
25
38
44
天数（天）
2
3
4
5
6
1.5
4.5
5.5
6.5
7
年份代号
1
2
3
4
5
广告费投入
4.8
5.6
6.2
7.6
8.8
认可
不认可
50岁以下市民
70
30
50岁以上市民
60
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.065
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
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