山东省济南市高新区2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市高新区2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 校园开放月活动，学生们精心设计了许多优美的图案，下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．既是轴对称图形，又是中心对称图形；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：A．
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．右边为多项式，不因式分解，故A错误；
B．，是因式分解，故B正确；
C．右边为多项式，不是因式分解，故C错误；
D．，因式分解错误，故D错误．
故选：B．
3. 若，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、∵，
∴，故该选项错误；
B、∵，
∴，故该选项错误；
C、∵，
∴，故该选项错误；
D、∵，
∴，故该选项正确；
故选：D．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解得在数轴上表示如下：
故选：B．
5. 若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（ ）
A. 扩大10倍B. 缩小10倍C. 不变D. 缩小5倍
【答案】C
【解析】把的x、y同时扩大10倍为，
故分式的值不变，
故选：C．
6. 将点A沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵点A沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴的坐标为．
故选：D．
7. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A. B. C. 26或D. 或22
【答案】C
【解析】根据题意得：，
∴，
∴或26．
故选：C．
8. 已知关于x的方程有增根，则a的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. ﹣5
【答案】D
【解析】∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
9. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图可知，当时，，
即不等式的解集为．
故选：B
10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①③④
【答案】D
【解析】由旋转的性质可得：，，，
，
，故①正确；
，
，即：平分，故③正确；
，
，
在中，，即：，故④正确；
与不一定相等，故②不正确，
综上所述，①③④正确，
故选：D．
二、填空题
11. 分解因式：x2－25=_________________.
【答案】
【解析】因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：．
12. 若分式的值为0，则x的值为__________．
【答案】3
【解析】由x2-9=0，得
x=±3．
又∵x+3≠0，
∴x≠-3，
因此x=3．
故答案为3．
13. 已知，则的值为_____．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
14. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于__________．
【答案】
【解析】∵其中一个三角形沿着方向平移到的位置，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15. a、b、c、d规定符号表示运算，已知，则x的整数解为___________．
【答案】
【解析】，
，
解得：，
则x的整数解为，
故答案为：．
16. 如图，在中，，为边上的中线，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为________．
【答案】
【解析】取的中点，连接、，
∵，为边上的中线，
∴，，
∴，
∵点是斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上，且，
当时，长度取得最小值，
∵，，
∴，又，
∴，，
∴长度的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：．
19. 先化简，再求值：，在0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
解：
•
，
∵，
∴当时，原式．
20. 解方程．
（1）；
（2）．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴经检验，是原分式方程的解；
（2）∵，
∴，∴，
∴，
∴经检验，是原分式方程的解．
21. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点．已知的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是，．
（1）将向下平移3个单位长度得到，画出平移后的图形；
（2）将绕点O逆时针旋转后得到，画出旋转后的图形；
（3）画出关于原点O对称的图形，并写出点，，的坐标．
解：（1）如图所示，即为所求.
（2）如图所示，即为所求.
（3）如图所示，即为所求.
，.
22. 如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
证明：（1）由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同．
（1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？
（2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？
解：（1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
．
答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元．
（2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，
由题意得：，
解得，
为正整数，
．
答：最少购进品牌工具套装套．
24. 已知一次函数，．
（1）若求x的取值范围；
（2）若关于x的一元一次不等式组的解集为，求的值；
（3）若，对于任意的，都有，求m的取值范围．
解：（1）∵，且，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴当时，有，
∴，
∵对于任意的，都有，
∴，
∴．
25. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
（1）理解应用：方程的解为：_______，________；
（2）知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值．
解：（1）∵的解为，
∴的解为或，
故答案为：5，；
（2）∵方程，
∴根据题意设，，
∴；
（3）∵方程，
∴，
∴，
设，方程变形为，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴或，
∴，，
∴，，
∴
．
26. 已知是等边三角形．
（1）将绕点A逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点O．
①如图a，当时，与是否全等？_____（填“是”或“否”），_____度；
②当旋转到如图b所在位置时，求的度数；
（2）如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，说明理由．
解：（1）①是由绕点旋转得到，是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
，
又，
在四边形中，；
②由已知得：和是全等的等边三角形，
，
是由绕点旋转得到的，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）如图，，，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，点，点，点共线．
当时，．