广东省阳江市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试题

这是一份广东省阳江市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量X的方差，则
C. 若，，，则事件A与事件B独立．
D. 若随机变量X服从正态分布，若，则
5.展开式中的系数为( )
A. 17B. 20C. 75D. 100
6.已知正数x，y满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.记表示不超过x的最大整数，，如，，已知数列的通项公式为，数列满足，则( )
A. 23B. 22C. 24D. 25
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.下列定义在上的函数中，满足的有( )
A. B. C. D.
11.已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点P为四边形含边界内一动点，且，则( )
A. 平面AMNB. 点P的轨迹长度为
C. 存在点P，使得面AMND. 点P到平面AMN距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极小值点为__________.
13.已知过椭圆的右顶点A作直线l交y轴于点M，交椭圆于点N，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为__________.
14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则__________，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知数列的前n项和为，且
求的通项公式；
若数列满足，求的前2n项和
16.本小题15分
在直四棱柱中，底面为矩形，，，O，E分别为底面的中心和CD的中点，连接OE，，，，
求证：平面平面；
若，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题15分
已知函数
若，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若恒成立，求实数a的取值集合．
18.本小题17分
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望；
统计学中常用表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势．
附：，
19.本小题17分
如图，抛物线是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点C，D，当M恰好为线段AB的中点时，
求抛物线的方程；
求的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.
解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得
【解答】
解：，
所以，
故选
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
根据双曲线渐近线方程即可计算．
【解答】
解：由双曲线 ，可得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量判断直线与平面之间的位置关系，涉及充分条件必要条件的判定，属于基础题.
若 为平面的一个法向量， ，则或，若为平面的一个法向量，，则，利用充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
【解答】
解：若 为平面的一个法向量， ，则或，
若为平面的一个法向量，，则，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二项分布的期望，正态分布的应用，离散型随机变量的方差的性质，条件概率与相互独立事件，属于中档题.
对于A，由二项分布的期望公式计算即可；
对于B，根据方差的性质即可求解判断;
对于C，由条件概率求得，与比较，即可判断事件A与事件B是否独立；
对于D，根据正态分布的对称性即可判断.
【解答】
解：对于A，因为随机变量，
所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，得，
因为，
所以事件A 与事件B 独立，故C正确；
对于D，因为，所以
因为随机变量X服从正态分布，
所以
所以，故D正确.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式指定项的系数，属于基础题.
由，先求出的通项，令和即可得出答案.
【解答】
解：因为，
的通项为：，
令可得；
令可得，
所以展开式中的系数为：
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
根据基本不等式可得 ，结合完全平方公式计算即可求解.
【解答】
解：因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
故选
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查如何利用导数研究函数的零点或方程的根，零点存在定理，及函数单调性与最值，属于较易题.
先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.
【解答】
解：根据指数函数性质在上单调递增，
且在上单调递增，
故当时，则在上单调递增，
，
根据零点存在定理，在存在唯一零点，
则当时，无零点，
时，，
令，则 ；时，则，
在上单调递减，在上单调递增，
于是时，有最小值，
依题意，，解得，所以最小整数为
故选：C
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查数列的新定义问题，属于中档题.
由新定义求出，记数列和的前n项和分别为和，然后再由分组求和法即可求解.
【解答】
解：由，可知，
记数列和的前n项和分别为和，由，得，而
，，，
，
所以
故选
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
因为直线经过原点，圆的圆心为，所以当直线与OC垂直时，直线被圆截得的弦最短，直线经过圆心时，直线被圆截得的弦最长，由此算出弦长的取值范围，进而可得正确答案．
【解答】
解：根据题意，可得直线经过原点，
圆C：，圆心为，半径
当直线经过点C时，直线被圆截得的弦长为圆的直径，此时弦长达到最大值；
，当直线与OC垂直时，
直线被圆截得的弦长为，此时弦长达到最小值．
综上所述，直线被圆C截得弦长的取值范围是，对照各项，可知BCD符合题意．
故选：
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
解：对于A，，则，当且仅当时，等号成立，满足条件；
对于B，，则，
当且仅当时，等号成立，不满足条件；
对于C，，，所以，显然成立；
对于D，，因为，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，满足条件．
故选：
【解答】
本题考查了指数函数、幂函数、余弦函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
利用函数性质与基本不等式判断A，B，D；利用余弦函数的性质判断
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，考查线面平行的判定定理，考查利用向量法证明线面垂直及点面距离的求解，考查几何体中的轨迹问题，属于难题.
对于A，由正方体的性质及线面平行的判定定理判断即可，对于B，求出 的长，即可判断点 P 的轨迹，对于CD，建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标即可判断.
【解答】
解：对于A，由正方体的性质可知， ‖ ，因为点 M， N分别为棱 的中点，所以 MN ‖ ，所以 ‖ MN ，因为 平面 AMN ， 平面 AMN ，所以 ‖平面AMN ，所以A正确；
对于B，因为 ，所以点 P 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 圆弧，所以其轨迹的长为 ，所以B错误；
对于C，以 D 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，则
，
因为 面 AMN ， 面 AMN ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以不存在点 P ，使得 面 AMN ，所以C错误；
对于D，设平面 AMN 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，因为 ，所以点 P 到平面 AMN 的距离 ，
因为 ，所以 ，则令 ，
所以 ，其中 ，所以点 P 到平面 AMN 距离的最大值为 ，所以D正确，
故选
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数求已知函数的极值或极值点，属于基础题.
求得导函数，分析导函数的正负，得到函数的单调性，进而确定极值点的情况.
【解答】
解：，
令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极小值点为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题.
设，，所以，代入椭圆方程，化简即可得解.
【解答】
解：不妨设，，
因为，所以，
代入椭圆得，
即4b222，整理得：4a22，
故
14.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题考查了条件概率的概念与计算，概率的乘法公式，属于基础题.
利用公式，计算即可.
【解答】
解：，，
，
，，
15.【答案】解：因为，
所以当时，，
当时，，
又时符合上式，
所以
则

【解析】本题考查数列的递推关系及通项公式的求解，等差数列的判定，以及裂项相消法求和的应用，属于中档题.由已知通过数列的递推关系可得数列的通项公式；
分类讨论n的奇偶，然后结合裂项相消法求和及等比数列求和求解即可.
16.【答案】解：证明：由题可得，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
因为，所以不妨取，
由已知得，，，，，，
所以，，
又，，
设平面的法向量为，
所以，即
不妨取，
设平面的法向量为，
所以，即
不妨取，
设平面与平面所成角的大小为，
所以
所以平面与平面所成角的余弦值为
【解析】本题主要考查面面垂直的判断，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.
可证平面，利用面面垂直的判定定理，可证平面平面；
建立合适的空间直角坐标系，利用两平面的法向量的数量积可得平面与平面所成角的余弦值．
17.【答案】解：当 时， ， ，
所以 ， ，即切点坐标为 ，切线的斜率 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
由题意得： 的定义域为 ， ，
当 时， ，则 单调递减区间为 ，无单调递增区间，
当 时，令 ，解得： ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
综上所述： 时，则 的单调递减区间为 ，无单调递增区间，
时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， ，不合题意，
当 时，由知 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
实数 a 的取值集合为

【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．
求出函数的导数，分别计算，的值，求出切线方程即可；
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
根据函数的单调性求出a的范围即可．
18.【答案】解：由题意得 ，
由于 ，依据小概率值 的独立性检验，
可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量 X 的可能取值为1，2，3，
， ，
，
所以 X 的分布列为：
所以数学期望 ；
，
因为 ，所以认为在事件 A 条件下 B 发生有优势．

【解析】本题考查独立性检验，考查条件概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题.
计算出卡方，即可判断；
首先求出直播带货优秀与良好的人数，则X 的可能取值为1 ，2 ，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
根据所给公式及条件概率公式计算出 ，即可判断.
19.【答案】解：设直线，，，
联立 ，得 ，
所以，
又因为是中点，所以，
，
代入化简得，解得
故抛物线的方程为

，
因为
，
同理，
所以，
当且仅当时，等号成立，即所求最小值为
【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系及其应用，属于较难题.
设直线，，，联立结合韦达定理求解即可；
根据，结合化简，利用基本不等式求解即可.主播的学历层次
直播带货评级
合计
优秀
良好
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200

k
X
1
2
3
P