2023~2024学年北京丰台区高三高考数学试题{三模}带解析

这是一份2023~2024学年北京丰台区高三高考数学试题{三模}带解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】利用并集的定义直接求解作答.
【详解】因为集合，所以.
故选：C
2．已知复数，则的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】利用复数乘法计算法则计算即可.
【详解】，所以的共轭复数为
故选：C
3．圆心为且和轴相切的圆的方程是
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【分析】由题意先求出圆的半径，再根据圆心坐标，求得它的标准方程．
【详解】解：圆心为且和轴相切的圆，它的半径为1，
故它的的方程是，
故选：．
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．1
【正确答案】D
【分析】设射线与轴非负半轴所成夹角为，射线与轴非负半轴所成夹角为，则，根据三角函数的定义及诱导公式计算可得.
【详解】设射线与轴非负半轴所成夹角为，则，，
射线与轴非负半轴所成夹角为，则，
所以，又，，所以.
故选：D
5．已知函数，则
A．是奇函数，且在定义域上是增函数
B．是奇函数，且在定义域上是减函数
C．是偶函数，且在区间上是增函数
D．是偶函数，且在区间上是减函数
【正确答案】B
【分析】根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得为上的减函数；即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；
设任意，，则函数为奇函数；
，其导数，
在区间上，，则为上的减函数；
故选：．
本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．
6．在中，，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高.
【详解】在中，因为，
由余弦定理得
因为，所以
设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.
故选：B.
7．设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件
【正确答案】C
【分析】利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.
【详解】依题意，，若，则，，
此时不满足对任意的，都有，所以，则，
若对任意的，都有，则，所以，
则，即，
所以，则，即，
所以，依题意，任意的，，
因为函数在单调递减，值域是，
因此，解得，所以，
故是“对任意的，都有”的充分且必要条件.
故选：C
8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（ ）（，棱台体积公式，其中，分别为棱台的上下底的面积，是棱台的高）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
9．过抛物线C：（）的焦点F作倾斜角为的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B（点A在x轴上方），则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【正确答案】D
根据几何关系以及抛物线的定义得出，由直角三角形的边角关系得出，再由直线和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出，结合，对应边成比例，即可得出答案.
【详解】设，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴的垂线，垂足于点，直线与准线交于点，准线与轴交于点
直线的倾斜角为，，即
由抛物线的定义知，，则，即点为中点
由于，则，即，则
设直线的方程为，即
并代入中，得：，即，则
由于，则
故选：D
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题.
10．已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（ ）.
A．1B．C．2D．3
【正确答案】A
【分析】依题意可设，，，根据得到点在以为圆心，半径的圆上运动，点在（）上，求出圆心到直线的距离，即可得解.
【详解】依题意可设，，，
则，又，
所以，即，则点在以为圆心，半径的圆上运动，
因为，所以点在（）上运动，根据对称性不妨令点在（）上，
则表示圆上的点与（）上的点连线段的长度，
因为圆心到（）的距离，
所以的最小值为，即的最小值为.

故选：A
二、填空题
11．的展开式中含项的系数为______．
【正确答案】
【分析】利用二项式定理即可求解.
【详解】的通项公式为，
所以的展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数为．
故答案为.
三、双空题
12．设等差数列的前项和为.若，，则__________；__________.
【正确答案】
【分析】设公差为，根据等差数列求和公式求出，即可求出通项公式及前项和公式.
【详解】设公差为，由，，所以，即，解得，所以，
则，
故；
13．已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是______；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为______．
【正确答案】
【分析】易得，，再结合，可知，然后由求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为，设点，分别求出和，根据列出方程，求出x的值，然后可得点到y轴的距离，，最后计算的面积.
【详解】易知，，所以，
又，，所以；
所以双曲线的方程为：，其中经过一、三象限的渐近线方程为，
故可设点，所以，，
因为，所以，即，
解之得：，所以点到y轴的距离为，又，所以：
.
故；.
本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.
14．在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为____________；的最大值是____________.
【正确答案】
【分析】根据条件及正弦定理，求得角；然后利用三角形内角和转化为与的关系，利用两角和与差的正弦展开式和取值范围求得最大值．
【详解】∵，∴由正弦定理得，
又，故，∴，
∵，∴；
∴，
∴，.
∵，∴，
∴当，即时，取得最大值.
∴当时，取得最大值.
故；.
四、填空题
15．已知函数，若，其中，给出下列四个结论：
①
②
③
④的取值范围为
以上正确结论得序号是__________.
【正确答案】②③④
【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断①；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断③，④；结合①和③即可判断②．
【详解】因为，所以，
令，解得或，
令，解得或，所以单调递增区间为和；
令，解得，所以单调递减区间为，
又，，，所以的图象（）如下图所示，
设，则，，故①错误；
又，所以，
即，
对照系数得，故选项③正确；，故选项④正确；
因为，所以，解得，故选项②正确．
故②③④．
关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．
五、解答题
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，因为，所以，
所以，即，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，所以，
所以平面平面.

（2）易知平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（3）因为棱上一点，满足，所以，
所以，
所以点到平面的距离.
17．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在.
(1)求函数的解析式；
(2)当，若函数恰有两个零点，求的取值范围.
条件①：；
条件②：的最小值为；
条件③：的图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
【正确答案】(1)选择条件②③，
(2)
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
（2）根据的取值范围的取值范围，再求出函数在上的单调性，依题意与在上有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与矛盾，
所以选择条件②③，
由题意可得，
其中，，
因为的最小值为，所以，解得，
所以，设，则，
由的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，可得，
所以，解得，
所以.
（2）当时，，
令，解得，所以在上单调递增，
且，则，
令，解得，所以在上单调递减，
且，则，
因为函数恰有两个零点，所以与在上有两个交点，
所以，即实数的取值范围为.
18．某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度.
(1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率
(2)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望；
(3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.
【正确答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据题意分析可得方式一回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解；
（3）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解
【详解】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率.
（2）由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数，
所以的数学期望．
（3）记事件为“按方式一回答问卷”，事件为“按方式二回答问卷”，事件为“在问卷中画○”．
由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．
19．已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
【正确答案】(1)，
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）依题意可得，，再根据求出、，即可得到椭圆方程及离心率；
（2）根据三点共线可得、关于点对称，设点，表示出直线、的方程，从而得到、的坐标，由可得，设可得，即可求出参数的值，从而得解.
【详解】（1）依题意可得，，又，解得，
所以椭圆方程为，则离心率
（2）因为、、三点共线，根据椭圆的对称性可知、关于点对称，
设点，则，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以点，．

假设存在M使，，
所以，又，所以，
即，所以，
设，则，，
所以，即，
又，所以，所以，解得，
所以.
20．已知函数.
(1)求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)证明：；
(3)设，求在区间上的最大值和最小值.
【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，即可求出切点的横坐标，从而求出切点坐标，即可求出切线方程；
（2）求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得证；
（3）求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函数的极值，在计算区间端点值，即可求出函数的最值.
【详解】（1）因为，所以，令，
解得，则，所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即.
（2）因为定义域为，且，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，所以.
（3）因为，，
则，
令，则，
所以时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
所以使得，所以当时，当时，当时，
即当时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
又，，又，
所以，
由（2）知，，则，
所以，.
21．数列项数为，我们称为的“映射焦点”，如果满足：①；
②对于任意，存在，满足，并将最小的记作；
(1)若，判断时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？
(2)若时，是映射焦点，证明：的最大值为4；
(3)若，，求的最小值.
【正确答案】(1)4是映射焦点，5不是映射焦点
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据题意分析判断；
（2）根据题意先证明当均是映射焦点，再证均不是映射焦点，即可得结果；
（3）由求和性质：在保证取最小值的前提下，根据题意可知：存在，使得，构造数列，并根据题意验证，再证此时的确最小.
【详解】（1）由题意可得：，
如果，则有：
①；
②对于任意，存在，满足；
故4为映射焦点.
如果，则：，故5不是映射焦点.
（2）当时，则有：
①；
②对于任意，存在，且，满足；
故均为映射焦点；
当时，则有：
①；
②取，令，则，
解得或，
但，
即不存在，满足；
故5不是映射焦点；
∵当时为递增数列，
故当时，不存在，满足，
故均不是映射焦点；
综上所述：的最大值为4.
（3）对于给定的，则或，显然较小的为，
且为奇数，则当为奇数时，为偶数，当为偶数时，为奇数，
当时，均取最小值，且，故最小的两个正整数为，
故取，
当时，则有：
∵，则，即，
又，则，即，
故取，
这样，则，即，满足；
，则，即，满足；
，则，即，满足；
即构成的数列满足.
下证此时为最小值，
设第一个等于2的项为，则为偶数，可得均不为2，
若有一项为1，则该项的相邻项必有2，不成立；
故均大于2，
①若，则，则均不为2，
若有一项为1，则该项的相邻项必有2，不成立；
故均大于2，
且，则，
显然时，最小，
此时，
故；
②若，则，
故，
可得；
综上所述.
故的最小值为256.
关键点点睛：
（1）在保证取最小值的前提下，构造数列并保证题意成立；
（2）分类讨论证明构造的数列使得最小.