【备战25年高考】2024年新高考Ⅰ卷数学真题解题技巧（1题2-4解）和考前变式训练-2025年高考数学答题技巧与模板构建

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真题01 集合真题解题技巧
真题02 复数真题解题技巧
真题03 平面向量真题解题技巧
真题04 三角恒等变换真题解题技巧
真题05 立体几何体积计算解题技巧
真题06 分段函数单调性解题技巧
真题07 三角函数图象与性质真题解题技巧
真题08 函数的性质判断函数值大小关系真题解题技巧
真题09 正态分布真题解题技巧
真题10 导数及其应用真题解题技巧
真题11 平面轨迹曲线方程真题解题技巧
真题12 离心率真题解题技巧
真题13 公切线真题解题技巧
真题14 均值及概率真题解题技巧
真题15 解三角形解答题真题解题技巧
真题16 圆锥曲线解答题真题解题技巧
真题17 立体几何解答题真题解题技巧
真题18 导数解答题真题解题技巧
真题19 数列新定义真题解题技巧
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真题01 集合真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
本题是集合运算中的交集求解问题，给定一个由不等式确定的无限集合和一个有限集, 要求找出既属于集合又 属于集合的元素，即求。
【解法一】直接计算法 【解法二】逐一验证法 【解法三】选项排除法 【解法四】精确范围法
1．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·一模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
真题02 复数真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
本题是关于复数运算的题目，已知一个复数等式, 要求出复数的值，主要考查复数的运算法则以及方程求解的能力。
【解法一】常规方程求解法 【解法二】构造法
【解法三】设法 【解法四】利用复数的倒数性质法
1．（2025·广东佛山·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北·一模）若复数 满足 ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西景德镇·二模）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
真题03 平面向量真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
本题是平面向量垂直条件应用的题目。已知两个向量的坐标，以及 与垂直的关系，要求出向量中未知数的值。解题关键在于利用向量垂直的性质（两向量垂直，其数量积为0）建立关于的方程求解。
【解法一】常规坐标运算 【解法二】展开数量积运算
【解法三】答案回代法【解法四】数形结合作图法（略）
1．（2025·广东肇庆·二模）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
真题04 三角恒等变换真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
本题是三角函数求值问题，已知与的值，要求的值，需要运用三角函数的两角和与差公式以及同角三角函数的基本关系来进行求解。
【解法一】利用两角和与差的余弦公式及弦化切
【解法二】设辅助变量法
【解法三】构造特殊角法（假设特殊值满足条件）
【解法四】通过比例关系求解
1．（2025·广东·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·福建厦门·一模）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建·模拟预测）已知，若，当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
真题05 立体几何体积计算解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
本题是一道关于圆柱和圆锥几何性质的题目，已知圆柱和圆锥底面半径相等、侧面积相等且高均为, 要求出圆锥的体积。主要考查圆柱和圆锥侧面积公式、体积公式的运用，以及通过建立等式求解未知量的能力。
【解法一】常规公式推导法
【解法二】比例关系法
【解法三】特殊值法
【解法四】极限思想法
1．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东肇庆·二模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广东·一模）已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（ ）
A．B．C．D．
真题06 分段函数单调性解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
本题是给定一个分段函数，已知其在R上单调递增，要求确定参数a的取值范围。对于分段函数单调性问题，需分别考虑各段函数自身单调性，同时保证在分段点处函数值的大小关系符合递增性质。
【解法一】根据二次函数对称轴与区间关系
【解法二】特值探路法
1．（2024·山东·模拟预测）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建·模拟预测）若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
真题07 三角函数图象与性质真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
本题是在给定区间内，求两个三角函数与图象交点个数的问题，本质上是求解方程在该区间内的解的个数，可通过多种方法，如利用三角函数性质、图象变换， 方程求解等思路来解决。
【解法一】五点作图法数形结合
【解法二】平移变换法数形结合（略）
1．（2025·浙江·模拟预测）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2025·黑龙江·模拟预测）函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．11B．9C．7D．5
真题08 函数的性质判断函数值大小关系真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
本题是一道关于抽象函数性质与具体函数值计算结合的题目。已知函数的定义域为, 给出了与的大小关系不等式，以及时的具体表达式，要求判断关于与一些数值大小关系的结论。
【解法一】逐步迭代法
【解法二】斐波那契数列对比法
【解法三】指数增长分析法
【解法四】倍数关系递推法（结合解法一）
1．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
3．（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（ ）
A．2025B．2026C．4050D．4052
真题09 正态分布真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A．B．
C．D．
本题是关于正态分布概率计算的题目，已知茶叶种植区以往收入和推动出口后收入分别服从不同参数的正态分布，给出了相关均值、方差等信息，要求判断不同选项中概率的取值范围。
【解法一】利用正态分布的对称性（基本性质法）
【解法二】另一种形式
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（ ）.（若服从正态分布，则
A．B．
C．D．
3．（2025·河南·模拟预测）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记不在区间的人数为，则（ ）
A．B．
C． D．
真题10 导数及其应用真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
本题为高中数学函数类多选题，给出函数, 需判断关于其极值点、不同区间函数值大小关系等多个命题的正确性，考查函数求导、单调性、特殊值应用等知识。
【解法一】导数分析法
【解法二】特殊值验证法
1．（2025·浙江·模拟预测）设函数，则（ ）
A．为的极大值点B．的图象关于中心对称
C．函数的三个零点成等差数列D．，
2．（2025·江西·一模）已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（ ）
A．实数的值为1或
B．在上单调递增
C．若是的一个极小值点，则当时，
D．若是的一个极大值点，则当时，
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最大值为4
C．在区间上单调递减
D．在区间上的极小值为
真题11 平面轨迹曲线方程真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
本题围绕曲线展 开，已知曲线过原点且其上点满足到定点的距离与到定直线的距离之积为4这一条件，需据此求出曲线相关信息并判断各选项正误。
【解法一】选项判断法
【解法二】特殊点优先法
1．（2024·湖北·一模）双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中， ，满足 的动点 的轨迹为曲线 . 则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 既是中心对称又是轴对称图形
B．曲线 上满足 的点 有 2 个
C．
D．曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0
2．（2025·浙江·模拟预测）设平面内两点的坐标为，，定义.已知点，，记平面内满足的动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．点在曲线上
B．曲线围成的面积为
C．的最大值为3
D．对曲线上任意点，都有
3．（2024·广东河源·模拟预测）“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：）

A．若，则的方程为
B．若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上
C．若，点在上，则
D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则
真题12 离心率真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
本题是关于双曲线性质应用的题目，已知双曲线的相关几何关系，要求出双曲线的离心率。离心率是双曲线的一个重要性质，反映了双曲线的形状特征，其求解通常需要结合双曲线的定义、标准方程以及几何性质来进行。
【解法一】直接计算+定义法
【解法二】利用双曲线的定义和勾股定理（定义-勾股法）
【解法三】利用通径公式（通径法）
1．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 .
2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知P为椭圆上一点，分别为椭圆的左，右焦点，直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率等于 ．
3．（2025·广东佛山·一模）直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为 ．
真题13 公切线真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
本题是一道关于曲线切线的导数应用问题。已知一条曲线在某点处的切线同时也是另一条曲线的切线，需要通过求导得出切线斜率，进而得到切线方程，再根据切线与另一曲线的关系求出未知参数a的值
【解法一】常规求导求解法
【解法二】切线方程通式法
【解法三】利用斜率相等与切点关系法
1．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ．
3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
真题14 均值及概率真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
本题是一个关于古典概型的概率计算问题。甲、乙两人进行四轮比赛，从各自持有的四张卡片中随机选一张比较大小计分，且选过的卡片不再使用，要求计算四轮比赛中甲的总得分不小于 2 的概率。需要先确定所有可能的基本事件总数，再找出甲总得分不小于 2 的事件数，最后根据古典概型概率公式计算概率。
【解法一】常规求解法
【解法二】直接法
1．（2024·辽宁·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则 . .
2．（2024·河北张家口·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率 ．
3．（2024·江西·一模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
真题15 解三角形解答题真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
本题是解三角形问题，综合考查了余弦定理、正弦定理以及三角形面积公式的应用，通过已知条件建立边与角的关系来求解角的大小和边的长度。
【解法一】常规余弦定理与正弦定理结合法
【解法二】边化角结合三角函数恒等变换法
1．（2025·江西景德镇·二模）在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，．
(1)求证：；
(2)若，求．
2．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
3．（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)设D为边AB的中点，若，且，求a．
真题16 圆锥曲线解答题真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
本题是圆锥曲线中椭圆相关的综合问题，第一问求椭圆的离心率，需根据椭圆上的点的坐标求出椭圆方程中的参数关系进而得到离心率；第二问根据三角形面积求直线方程，要先设出直线方程，再联立椭圆方程，利用弦长公式、点到直线距离公式等求解。
【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【附加解法五+解法六】
1．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，焦距为4．过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴对称的点为点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)若直线的斜率为，求直线的方程．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积最大值.
3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.
真题17 立体几何解答题真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
本题是立体几何中关于线面平行证明以及二面角相关的问题。第一问证明线面平行，关键在于利用线线垂直关系推出线线平行，进而证明线面平行；第二问根据二面角的正弦值求线段长度，需建立空间直角坐标系，利用向量法求解，也可几何法求解。
【解法一】纯几何法
【解法二】向量法证明线面平行（第一问）
【解法三】向量法（第二问）
【解法四】面积射影法（略）
1．（2025·吉林·二模）如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中，.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高.
2．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，点在棱上，且，，且.
(1)当时，求证：；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.
3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，直线与平面所成的角为．
①求的值；
②当时，求的最小值．
真题18 导数解答题真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
本题是一道关于函数性质与不等式求解的综合题。涉及到函数的导数应用、函数的对称性以及不等式恒成立与取值范围问题。第一问通过导数研究函数单调性求最值从而确定参数的最小值；第二问通过寻找函数上点的对称关系证明函数的中心对称性；第三问结合函数性质与不等式条件确定参数的取值范围。
【解法一】常规解法
【解法二】第二问不同解
1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值
(2)若恒成立，求实数a的值范围．
2．（2025·江西九江·一模）已知函数，曲线在处的切线经过点
(1)求；
(2)若，判断的单调性：
(3)当时，，求的取值范围．
3．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为
(1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值;
(2)讨论方程在上实数解的个数;
(3)若，设函数，若，求的取值范围.
真题19 数列新定义真题解题技巧
（2024年新高考Ⅰ卷高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
本题是关于等差数列性质与组合概率的综合问题。主要围绕着给定的. 可分数列的定义，分别考查在不同条件下找出满足条件的组合、证明数列是特定的可分数列以及计算满足可分数列的概率并证明其范围。
【解法一】常规解法
【解法二】另一种形式
1．（2024·安徽·三模）定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
(1)若，求的前项和；
(2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
(3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
2．（2024·贵州黔南·一模）若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质.
(1)若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求，并证明数列具有性质.
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列.
(1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列；
(2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值；
(3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围.