重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三下学期全真模拟集训（五）数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1. 设集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解对数不等式化简 ，解指数不等式化简 ，即可判断.
【详解】由 ，则 ，解得 ，
所以 ，
由 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：D
2. 已知两条直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行求出 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当 时， ，则 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则直线 的斜率为（ ）
A. -1 B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
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【分析】可得 ，得到 ，进而求得直线 的斜率，得到答案.
【详解】由函数 ，可得 ，
则 ，所以直线 的斜率为 .
故选：C．
4. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为 ，双曲线的渐近线方程为 ，再由点到直线
的距离公式即可求得距离.
【详解】由 ，得焦点坐标为 ，又双曲线 渐近线方程为 ，
即 ，则由点到直线的距离公式得 .
故选：A.
5. 已知 ，函数 ，存在常数 ，使得 为偶函数，则 可能的
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用三角函数性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果.
【详解】解：由函数 ，存在常数 ，使得 为偶函数，
则 ，
由于函数为偶函数，
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故 ，
所以 ，
当 时， .
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.
6. 已知 ，则 （ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先根据二项展开式的通项公式求得 ，再利用赋值法，令 ，进而即可求解．
【详解】由 ，
则 ，得 ，
令 ，得 ，
左右两边除以 ，得 ，
所以 ．
故选：D．
7. 已知三棱锥 中， 面 ，底面 是以 为直角顶点的直角三角形，且
，三棱锥 的体积为 .过点 作 于 ，过 作 于
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据线面关系以及三棱锥 的体积为 ，求得 ，利用其他的线线垂直，最终
证得 面 ，再利用长方体模型求三棱锥 外接球的体积即可.
【详解】解：由题可知 中， ， ，
所以
又 面 ，三棱锥 的体积为
所以
则
因为 面 ，所以
又 ，且 面
所以 面 ，又 面
则 ，已知 ， 面
所以 面 ，又 面 ，则 ，
又 ， 面
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所以 面
则三棱锥 的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示：
则该长方体的外接球即三棱锥 的外接球，设外接球半径为
故 ，所以
三棱锥 外接球的体积为： .
故选：D.
8. 若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可
【详解】因 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 即 ，
所以 ，
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所以 即 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 即 ，
又易知 ，
所以 ，即 ，
故选：A
二、多选题
9. 复数 ， 满足 ， ，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案.
【详解】依题意得，复数 ， 是方程 的两个根，
可得 ，
解得 ，则 ， ，
所以 ，故选项 A 正确；
，故选项 B 正确；
，故选项 C 错误；
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，故选项 D 正确．
故选：ABD．
10. 一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字 1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件 A 为“第一次
向下的数字为偶数”，事件 B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件 A 和事件 B 互为对立事件
C. D. 事件 A 和事件 B 相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】求得 的值判断选项 A；举反例否定选项 B；求得 的值判断选项 C；利用公式
是否成立判断选项 D.
【详解】选项 A： .判断正确；
选项 B：事件 B：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，
则两次向下的数字之和为奇数.则事件 A 和事件 B 不是对立事件.判断错误；
选项 C： ，则 .判断正确；
选项 D： ，又 ， ,
则有 成立，则事件 A 和事件 B 相互独立.判断正确.
故选：ACD
11. 在 2024 年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800 分的成绩夺得金牌，这是中国艺
术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作
由抛物线 绕其顶点分别逆时针旋转 、 、 后所得三条曲线与 围成的（如
图阴影区域）， 、 为 与其中两条曲线的交点，若 ，则（ ）
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A. 开口向上的抛物线的方程为
B.
C. 直线 截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积不大于 32
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于 B，联立抛物线方程，
求出点 、 的坐标，即得；对于 C，当抛物线 在点 处的切线与直线 垂直，且抛物线
在点 处的切线与直线 垂直时， 最大，可判断 C；对于 D，求出抛物线 在
点 处的切线，并求出切线与 轴的交点 的坐标，可知半个花瓣的面积小于 的面积，可判断 D.
【详解】对于 A，由题意，开口向右的抛物线方程为 ，顶点在原点，焦点为 ,
将其逆时针旋转 后得到的抛物线开口向上，焦点为 ，则其方程为 ，故 A 正确；
对于 B，根据 A 项分析，由 ，解得 或 ，即 ，
代入可得 ，即
由图象的对称性，可得 ，所以 ，故 B 错误；
对于 C，
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设直线 与抛物线 相切，联立 可得 ，
由 ，可得 ，且方程 即为 ，
解得 ， ，此时切点坐标为 ，
设直线 与抛物线 相切，联立 可得 ，
由 ，可得 ，此时方程 即为 ，
解得 ， ，此时切点坐标为 ，
两切点连线的斜率为 ，即切点的连线与直线 平行或重合，
故当 、 时， 取最大值，
且其最大值为 ，即直线 截第一象限花瓣 弦长最大值为 ，故
C 正确；
对于 D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 部分面积的近似值.
如图，
对函数 求导得 ，则抛物线 在点 处的切线斜率为 ，
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所以抛物线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
令 ，可得 ，
该切线交 轴于点 ，
所以半个花瓣的面积必小于 ，
故原图中的阴影部分面积必小于 ，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12. 若 ，且 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件构造 ，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由 ，可知 ， ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为：
13. 已知 分别是椭圆 的右顶点，上顶点和右焦点，若过 三点的圆
恰与 轴相切，则 的离心率为______．
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【答案】
【解析】
【分析】利用过 三点的圆恰与 轴相切，求出圆的标准方程，再利用点 在圆上，坐标适合方程即
可求解．
【详解】由已知可得： ，
线段 的垂直平分线方程为 ，过 三点的圆恰与 轴相切，
所以圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
所以经过过 三点的圆的圆的方程为 ，
在圆上，所以 ，
整理得： ，所以 ，所以 ，
化为： ，由 ，解得 .
故答案为： ．
14. 在数列 中给定 ，且函数 的导函数有唯一的零点，函数
且 .则 ______.
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】利用导数的定义和对称性可得 ，利用辅助角公式对 化简，构造新函数，利用导
数判断新函数的单调性并结合夹逼原理即可求解.
【详解】因为 有唯一的零点， 为偶函数，
所以 ，即 ， ，
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所以数列 为公差为 的等差数列，
又因为
，
令 ，则 为奇函数，
因为 ，所以 在 上单调递增，
由题意得 ，
因为数列 是公差不为 0 的等差数列，其中 ，则 ，假设
，
，
因为
所以 ，
假设 ，同理可得 ，
综上， ，
故答案为：
四、解答题
15. 已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
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（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【 分 析 】（ 1） 首 先 可 得 是 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 即 可 求 出 ， 再 由
作差计算可得；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法求和即可.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，
则 ，所以 ，
又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ， 时也适合，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ①，
则 ②，
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所以① ②得 ，
则 ，
所以 .
因为 ，所以 .
16 已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导 ，分 与 两种情况讨论可求单调区间；
（2）由题意 恒成立，构造函数 ，求导，分 ， 两
种情况求 的最大值，利用最大值小于 0 即可求解.
【小问 1 详解】
因为函数 ，所以 ，
当 时， ，所以函数 在 R 上单调递增；
当 时， 在 R 上单调递减，令 ，可得 ，
所以当 时， ；当 时， ．
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所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时，函数 在 R 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
【小问 2 详解】
因为 恒成立，所以 恒成立，即 恒成立，
令函数 ，所以 恒成立，
所以函数 的最大值小于 0， ，
当 时，函数 在 R 上单调递增，函数 无最大值，
当 ，函数 ，故不符合题意；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的最大值为 ，
令 ， ，易知 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，故实数 m 的取值范围是 ．
17. 在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ， ．
（1）求角 的大小；
（2）如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理可得 ，再由余弦定理分别得到 ，再由基本不等式
代入计算，即可得到结果.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，可得 ，
整理可得 ，
又因为 ，
化简可得 ，
而 ，则 ，又 ，则
【小问 2 详解】
在 中，由 可得 ，
在 中，由 可得 ，
所以 ，
设 ，
由余弦定理 ，
，
可得 ， ，
因此 ，
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当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最大值为 ，此时 .
18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；
每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得 150 分，出现两次音乐获得 100 分，出现一次音乐获得 50 分，没
有出现音乐则获得-300 分.设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ，求 的最大值点 ；
（2）以（1）中确定的 作为 的值，玩 3 盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量 ，求每盘游戏出现音乐
的概率 ，及随机变量 的期望 ；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用
概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率 .然后求得导函数 ,并令
求得极值点.再根据 的单调情况,求得 的最大值.
（2）由（1）可知, .先求得不出现音乐的概率, 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结
合二项分布的期望求法,即可得随机变量 的期望 ;
（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负
数,即可说明分数变少.
【详解】（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：
,
由 得 或 （舍）
当 时, ；
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当 时, ,
∴ 在 上单调递增,在 上单调递减,
∴当 时, 有最大值,即 的最大值点 ；
（2）由（1）可知,
则每盘游戏出现音乐的概率为
由题可知
∴ ；
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量 ,则 的可能值为-300,50,100,150；
∴ ；
；
；
；
∴
；
令 ,则 ；
所以 在 单调递增；
∴ ；
即有 ；
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这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没
有增加反而会减少.
【点睛】本题考查了独立重复试验概率的求法,利用导数求得函数的最值,数学期望的求法,综合性较强,计算
量较大,属于难题.
19. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点.
（1）求平面 与平面 的夹角的余弦值；
（2）点 为正方体 表面或内部一点.
①若点 为线段 上一点，点 ， 分别为直线 ，直线 上的动点，求 的最小值；
②若点 在正方体 的表面上，且点 到以 为公共顶点的三个面中的两个面的距离相等，
到第三个面的距离等于点 到该正方体中心的距离，求出满足条件的点 的个数.
【答案】（1）
（2）①2；②6 个
【解析】
【分析】（1）以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面的夹角即可；
（2）①连接 ， ，可得平面 平面 ，要使 最小，可知 ，作 关
于 的对称点 ，连接 ，过 作 交 于点 ，可得 为 的最小值，
根据图形中几何关系求解即可；②取 的中点 ，根据对称性知 在平面 上，所以点 到平面
等于点 到直线 的距离，由题意知点 的轨迹为在平面 内的抛物线，可求解得抛物线
的方程为 ，结合图形即可求解.
【小问 1 详解】
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以 为原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设该正方体的棱长为 2，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，故可取 ；
设平面 的一个法向量 ，
则 即 ，故可取 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ；
【小问 2 详解】
①连接 ， ，因为点 在 上，
因为 ， ， ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
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故 与平面 内 点之间的距离最小的点在 上，
因为 在 上，要使 最小，则 必在 与 交点处，此时 ，
作 关于 的对称点 ，连接 ，
将 沿 翻折到平面 内，过 作 交 于点 ，
所以 ， ，
所以 为 的最小值，
因为 ， ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又在翻折后形成的图形中， ， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 的最小值为 2，
②取 的中点 ，则 为正方体 的中心，若 到侧面 、侧面 的距离相
等，根据对称性知 在平面 上，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，
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因为平面 平面 ，
所以点 到平面 等于点 到直线 的距离，
由题意知在平面 内，点 到 的距离等于点 到 的距离，
由抛物线的定义知点 的轨迹为在平面 内的抛物线，
取 的中点 ，以直线 为 轴，以 的中垂线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，易知
，所以抛物线的方程为 ，
易知直线 的方程为 ，代入 ，得 ， ，
所以抛物线 与棱 和棱 各有 1 个公共点，
所以若点 到侧面 、侧面 的距离相等，点 到 的距离等于点 到正方体中心距离时，
符合条件的点 有 2 个，
同理若点 到侧面 、侧面 的距离相等，点 到 的距离等于点 到正方体中心距离时，
以及若点 到侧面 ，侧面 的距离相等，点 到 的距离等于点 到正方体中心距离时，
符合条件的点 各有 2 个，
综上所述，符合条件的点 共有 6 个.
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