重庆市西南大学附属中学校2024−2025学年高三下学期全真模拟集训（五） 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（ ）
A．-1B．1C．D．2
4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
7．已知三棱锥中，面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥的体积为.过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则（ ）
A．2B．C．1D．
二、多选题
9．复数，满足，，则（ ）．
A．B．
C．D．
10．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．B．事件A和事件B互为对立事件
C．D．事件A和事件B相互独立
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于32
三、填空题
12．若，且，则的最小值为 ．
13．已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为 ．
14．在数列中给定，且函数的导函数有唯一的零点，函数且.则 .
四、解答题
15．已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
16．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
17．在中，角所对的边分别为，其中，．
（1）求角的大小；
（2）如图，为外一点，，，求的最大值．
18．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；
（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
19．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点.
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）点为正方体表面或内部一点.
①若点为线段上一点，点，分别为直线，直线上的动点，求的最小值；
②若点在正方体的表面上，且点到以为公共顶点的三个面中的两个面的距离相等，到第三个面的距离等于点到该正方体中心的距离，求出满足条件的点的个数.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，则，解得，
所以，
由，解得，所以，
所以.
故选D
2．【答案】A
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由函数，可得，
则，所以直线的斜率为.
故选C．
4．【答案】A
【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离.
【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为，
即，则由点到直线的距离公式得.
故选A.
5．【答案】C
【详解】解：由函数，存在常数，使得为偶函数，
则，
由于函数为偶函数，
故，
所以，
当时，.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由，
则，得，
令，得，
左右两边除以，得，
所以．
故选D．
7．【答案】D
【详解】解：由题可知中，，，
所以
又面，三棱锥的体积为
所以
则
因为面，所以
又，且面
所以面，又面
则，已知，面
所以面，又面，则，
又，面
所以面
则三棱锥的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示：
则该长方体的外接球即三棱锥的外接球，设外接球半径为
故，所以
三棱锥外接球的体积为：.
故选D.
8．【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以，
又，
所以即，
所以，
所以即，
又，
所以，
所以，
所以，
所以即，
又易知，
所以，即，
故选A
9．【答案】ABD
【详解】依题意得，复数，是方程的两个根，
可得，
解得，则，，
所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选ABD．
10．【答案】ACD
【详解】选项A：.判断正确；
选项B：事件B：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，
则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误；
选项C：，则.判断正确；
选项D：，又，,
则有成立，则事件A和事件B相互独立.判断正确.
故选ACD
11．【答案】ACD
【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，故A正确；
对于B，根据A项分析，由，解得或，即，
代入可得，即
由图象的对称性，可得，所以，故B错误；
对于C，
设直线与抛物线相切，联立可得，
由，可得，且方程即为，
解得，，此时切点坐标为，
设直线与抛物线相切，联立可得，
由，可得，此时方程即为，
解得，，此时切点坐标为，
两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合，
故当、时，取最大值，
且其最大值为，即直线截第一象限花瓣的弦长最大值为，故C正确；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为，
所以抛物线在点处的切线方程为，即，
令，可得，
该切线交轴于点，
所以半个花瓣的面积必小于，
故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由，可知，，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
13．【答案】
【详解】由已知可得：，
线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过过三点的圆的圆的方程为，
在圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得.
14．【答案】/0.25
【详解】因为有唯一的零点，为偶函数，
所以，即，，
所以数列为公差为的等差数列，
又因为
，
令，则为奇函数，
因为，所以在上单调递增，
由题意得，
因为数列是公差不为0的等差数列，其中，则，假设，
，
因为
所以，
假设，同理可得，
综上，.
15．【答案】（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）由，可得，
则，所以，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，则，
当时，，
当时，，时也适合，
所以.
（2）因为，
所以①，
则②，
所以①②得，
则，
所以.
因为，所以.
16．【答案】(1)答案见详解；
(2).
【详解】（1）因为函数，所以，
当时，，所以函数在R上单调递增；
当时，在R上单调递减；
令，可得，
所以当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在R上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，
令，所以恒成立，
所以函数的最大值小于0，，
当时，函数在R上单调递增，函数无最大值，
当，函数，故不符合题意；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值为，
令，，易知在上单调递增，
又因为，，所以，故实数m的取值范围是．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理，可得，
整理可得，
又因为，
化简可得，
而，则，又，则
（2）在中，由可得，
在中，由可得，
所以，
设，
由余弦定理，
，
可得，，
因此，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最大值为，此时.
18．【答案】（1）；
（2），；
（3）答案见详解.
【详解】（1）由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为
，
，
由得或（舍）
当时，，
当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，有最大值，即的最大值点为；
（2）由（1）可知，，
则每盘游戏出现音乐的概率为，
由题可知，
∴；
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量，则的可能值为-300，50，100，150，
∴，
，
，
，
∴
，
令，则，
∴在单调递增，
∴，
即有，
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知，经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
19．【答案】（1）
（2）①2；②6个
【详解】（1）以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设该正方体的棱长为2，则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量，
则，即，故可取；
设平面的一个法向量，
则即，故可取，
设平面与平面的夹角为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为；
（2）①连接，，因为点在上，
因为，，，
平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
故与平面内的点之间的距离最小的点在上，
因为在上，要使最小，则必在与的交点处，此时，
作关于的对称点，连接，
将沿翻折到平面内，过作交于点，
所以，，
所以为的最小值，
因为，，
所以，
又，，所以，
因为，所以，所以，
又在翻折后形成的图形中，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以的最小值为2，
②取的中点，则为正方体的中心，若到侧面、侧面的距离相等，根据对称性知在平面上，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
因为平面平面，
所以点到平面等于点到直线的距离，
由题意知在平面内，点到的距离等于点到的距离，
由抛物线的定义知点的轨迹为在平面内的抛物线，
取的中点，以直线为轴，以的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，易知，所以抛物线的方程为，
易知直线的方程为，代入，得，，
所以抛物线与棱和棱各有1个公共点，
所以若点到侧面、侧面的距离相等，点到的距离等于点到正方体中心距离时，符合条件的点有2个，
同理若点到侧面、侧面的距离相等，点到的距离等于点到正方体中心距离时，以及若点到侧面，侧面的距离相等，点到的距离等于点到正方体中心距离时，符合条件的点各有2个，
综上所述，符合条件的点共有6个.