重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期4月月考（八）数学试题（Word版附解析）

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注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分， 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1D.
2. 对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
3. 已知 ，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 空间中有三组平行平面， 第一组有 3 个， 第二组有 2 个， 第三组有 4 个， 不同两组的平面都相交， 且交线不都平行， 则这些平面可以构成平行六面体的个数为（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 30
5. 如图，正方形 的边长为 ，取 的各边中点 作第二个正方形 ，然后再取 的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去， 那么所有的正方形的面积之和趋近于（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7 已知 ，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴，点 为线段 上一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. 2D. 3
二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分)
9. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A. 是的图象的一个对称中心
B. 是的图象的一条对称轴
C. 的周期也是的周期
D. 图象可以由的图象向右平移个单位得到
10. 已知二项式 的展开式中只有第 5 项的二项式系数取得最大值，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 展开式中无常数项
C. 展开式中共有 5 个有理项D. 展开式的所有项的系数和为 1
11. 将长为，宽为的长方形沿着对角线旋转一周形成几何体，记的外轮廓所围几何体为，则下列说法正确的是（ ）
A. 能容纳底面半径为，高为的圆锥
B. 能容纳的最小球的半径为
C. 若圆柱的轴为直线，则能容纳的这类圆柱的最大体积为
D. 能容纳的最大球的半径大于
三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分)
12. 已知等差数列 为其前 项和，若 与 的等差中项为 4 ，则 _____.
13. 圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为_____.
14. 已知关于的方程有解，则的最小值为_____.
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 已知分别为锐角三个内角 的对边， 为三角形的面积，且满足
（1）求角的大小；
（2）若 ，求的取值范围.
16. 为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生， 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二:
表一:
表二:
独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表:
（1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算 、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联?
（2）请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论， 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论， 请提出可行性建议；
（3）现在从表二中，抽取样本容量为样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望.
17. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 .
（1）求证: 平面 ；
（2）若 ，二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点，满足
，求 与平面 所成角正弦值的最小值.
18. 如图， 分别为双曲线的左、右顶点，，双曲线的两条渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点在直线上运动，直线 交双曲线左支于点，直线交双曲线右支于点 与 不重合).
①求直线与的斜率之积；
②问直线是否过定点? 如果过定点，请求出定点坐标; 如果不过定点，请说明理由.
19 已知函数 ，其中 .
（1）当时，求曲线在点处的切线方程;
（2）若对于恒成立，求的取值范围；
（3）对于定义域为的函数 ，规定 . 当时，令，求关于的不等式的解集.
性别
身高
合计
低于
不低于
女
男
合计
性别
身高
合计
低于
不低于
女
男
合计