安徽省安庆市2023_2024学年高一数学下学期5月同步测试试卷含解析

这是一份安徽省安庆市2023_2024学年高一数学下学期5月同步测试试卷含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可．
【详解】由，则，
所以复数对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
2. 已知向量，，则“”是“”的（）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】由题意，得，，
若，则，
即，解得，
所以“”推得出“”，即必要性成立，
但“”推不出 “”，即充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3. 如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图．若，，，则的面积为（）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再根据求解即可.
【详解】由已知得，
所以.
故选：B.
4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（）
A. 等腰三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
于是，而，则，
所以是等腰三角形.
故选：A
5. 设是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，若，则或，无法确定与的关系，错误；
对于B选项，根据面面平行的性质定理，缺少的条件，它们可能平行或异面，错误；
对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件，平行、相交或均有可能，错误；
对于D选项，若，则，由面面垂直的判定定理可得，正确.
故选：D
6. 已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，即可得出外接球的球心及半径，根据球的体积公式计算即可．
【详解】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接，
则，底面，为正六棱锥的高，
所以，
因为正六棱锥的体积为，所以，即，
故点为外接球的球心，半径为2，
故外接球的体积，
故选：C．
7. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可.
【详解】连接，取的中点，连接,，
由题意知，，则异面直线与所成角（或其补角），
在中，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
8. 在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】先根据空间中线面的位置关系确定截面形状；再根据几何关系即可求解.
【详解】如图所示，
在棱上取一点，使得.
因为在棱上，且，
所以，.
由正方体性质可知：平面平面，.
又因为平面平面，平面，
所以平面，
则平面.
又因为平面
所以.
取为的中点，在棱上取一点，使得.
则，,
所以.
因为为的中点，
则由正方体的性质可得：平面.
又因为平面，
所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
同理可得：在棱上取一点，使得时有.
所以截面为四边形.
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以
又因为，
所以，，.
所以等腰梯形为所得截面，梯形的高为.
所以等腰梯形面积为，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间中线面的位置关系及正方体的截面.解题关键在于熟练运用线、面平行与垂直的判定定理和性质定理来确定截面的形状.
二、多选题
9. 对于有如下命题，其中正确的是（）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，，且有两解，则的取值范围是
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，由余弦定理可证D.
【详解】选项A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，
为钝角三角形，A正确；
选项B：如图所示，
若有两解，则，解得，B错误；
选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，则，
又因为在单调递增，所以，C正确；
选项D：若，，
由余弦定理，，
所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确.
故选：ACD
10. 如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【详解】截面中间是矩形，如果可能话，那么一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面；
当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图②中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面；
如图③，按图中截面A1B1C1的位置去剖开正方体，截面就会如选项D，故D可能是该几何体的截面．
故选BCD.
11. 如图，正方体的棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积为
D. 以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.
【详解】对于A，为边长为的等边三角形，的最小值即该等边三角形的高，为，故A正确；
对于B，如图，将等边绕旋转到与平面共面，
显然，故B正确；
对于C，当P在D上时，，故C错误；
对于D，设点B到平面的距离为d,
，
，
，，
以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线是以中心为圆心，以为半径的圆，
如图，圆有一部分在正方体外，，由A得，
，所以，，
所以有圆周在正方体内部，其长度为，故D对.
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量公式计算即可.
【详解】设与的夹角为，
因为，
即，又，
则，即．
故答案为：.
13. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．
【详解】如图所示，
在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，
连接、，易知四边形是菱形，
设在平面的射影为，
由正三棱锥可知，点是△的外心，
，则，
由，得，
所以，再结合，得，
从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，
同理，在平面（即平面上的射影为的外心，
连接，则在平面上的射影为，
进而即为直线与平面所成角，记，
则，其中为定值，
而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，
取得最小值，记相交于Q,易知，
则，
此时取得最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键是确定在平面上的轨迹为圆.
14. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得．
【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
平面，则平面，
所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长，
的最小值为到平面的距离，
连接交于点，连接交于点，，
由平面，平面，得，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
又因为，平面，所以平面，
同理可证，所以，从而，
故线段的长的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题
15. 已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角的平方关系求出，由三角形面积公式求出圆锥母线长，进而求出底面半径，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解；
（2）设圆柱底面半径，则圆柱的高为，结合圆柱侧面积公式和基本不等式计算即可.
【小问1详解】
设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
∴，解得（负值舍去），
又，所以，
∴圆锥的侧面积．
【小问2详解】
作出轴截面如图所示：由（1）可知，
设圆柱底面半径，即，
则圆锥的高，
所以，即圆柱的高为，
所以圆锥内接圆柱的侧面积，
当且仅当，即时取等号，
所以圆锥内接圆柱侧面积的最大值为.
16. 如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，．
（1）求直三棱柱的体积；
（2）求证：面．
（3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．
【答案】（1）144；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算得解.
（2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理即得.
（3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，由，得，
由，得，，
所以直三棱柱的体积.
【小问2详解】
连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点，
则，又平面，平面，
所以平面.
【小问3详解】
当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图，
连接，过作于，交于点，
由，得，，，
，则，
因此；
当小虫从点沿正方形爬到点D，把正方形与置于同一平面内，
或把正方形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然共线，则，，
而，因此，
在右图中，，；
当小虫从点沿矩形爬到点D，把矩形与置于同一平面内，
或把矩形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然共线，则，，
而，因此，
在右图中，，，
显然，
所以小虫爬行的最短距离.
17. 已知的内角所对的边分别为,设向量,,且.
（1）求角;
（2）若,的面积为,求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可;
（2）先根据三角形的面积公式求出,再利用正弦定理求出即可.
【小问1详解】
因为,,且,
所以,
由正弦定理可得:，即,
由余弦定理得:，所以,
又,所以.
【小问2详解】
因为,
由三角形面积公式得:，解得,
所以为等腰三角形，所以,
又，即,
所以的周长为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；
（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.
【小问1详解】
因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点，
所以，
因为，面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
取的中点，的中点，连接，
则且，，
故，
因为面面，面面，面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为；
【小问3详解】
当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
（1）设，，为虚数单位，求复向量、的模；
（2）设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．
【答案】（1），
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；
（2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立；
②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值．
【小问1详解】
因为，所以，
可得的模为；
因为，所以，
所以的模为；
【小问2详解】
因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，
②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
若复向量与平行，则，
根据中等号成立的条件，应有，
则，
结合，得，解得；
所以，所以．