人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.3 分式的加法与减法图文ppt课件

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.3 分式的加法与减法图文ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了复习导入，分式的混合运算，解原式，实际修建需等内容，欢迎下载使用。
分式的混合运算教案一、教学目标（一）知识与技能目标学生能够牢固掌握分式的加、减、乘、除以及乘方的运算法则，准确用数学语言表述，如分式乘法法则为分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{a×c}{b×d}\)（\(b≠0\)，\(d≠0\)）等。能依据运算法则，熟练且准确地进行分式的混合运算，包括分子分母为单项式、多项式的复杂情形，并将结果化简为最简分式或整式。明确分式混合运算的顺序，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，并能严格按照顺序进行运算。（二）过程与方法目标通过类比分数的混合运算，引导学生自主探究分式混合运算的方法和顺序，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，体会数与式运算的相似性与联系。在解决分式混合运算问题的过程中，提升学生的运算能力、逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的治学态度和良好的计算习惯。经历从具体实例到抽象运算法则的归纳过程，提高学生的抽象概括能力，培养学生数学建模的思想。（三）情感态度与价值观目标以实际生活问题或有趣的数学情境引入分式混合运算，让学生感受数学与生活的紧密联系以及数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣和积极性。在探究和解决问题的过程中，鼓励学生积极思考、勇于尝试，培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。通过小组合作学习和课堂交流活动，培养学生的团队合作精神和交流能力，让学生学会倾听他人意见，学会与他人合作解决问题，体会集体智慧的力量。二、教学重难点（一）教学重点熟练掌握分式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，并能准确运用。明确分式混合运算的顺序，能够按照正确顺序进行复杂分式的混合运算。能够将实际问题转化为分式混合运算问题，并运用所学知识求解，提高学生解决实际问题的能力。（二）教学难点在分式混合运算中，当分子分母为多项式时，准确进行因式分解、通分和约分，避免出现运算错误。理解并正确处理分式混合运算中的符号问题，尤其是在减号和负号较多的情况下，确保运算结果的正确性。能够灵活运用运算律和运算法则，选择简便的运算方法进行分式混合运算，提高运算效率。三、教学方法类比教学法：通过回顾分数的混合运算顺序和运算法则，与分式混合运算进行类比，引导学生自主发现和推导分式混合运算的方法和顺序，降低学习难度，加深学生对知识的理解和记忆。探究式教学法：设置问题情境，引导学生通过观察、分析、计算、讨论等活动，自主探究分式混合运算的规律和方法，培养学生的自主探究能力和创新思维，提高学生发现问题、解决问题的能力。讲练结合法：在讲解分式混合运算的法则、顺序和例题后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正，通过反复练习，提高学生的运算技能和解题能力。小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨分式混合运算中的难点问题和实际应用问题。通过小组讨论和交流，促进学生之间的思想碰撞和知识共享，培养学生的团队合作精神和合作学习能力。四、教学过程（一）复习导入（5 分钟）回顾分式的基本运算法则请学生分别回答分式的乘法、除法、加法、减法以及乘方的运算法则，教师在黑板上或通过多媒体展示相应的式子：分式乘法法则：\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{a×c}{b×d}\)（\(b≠0\)，\(d≠0\)）分式除法法则：\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{a×d}{b×c}\)（\(b≠0\)，\(c≠0\)，\(d≠0\)）同分母分式加法法则：\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a + b}{c}\)（\(c≠0\)）异分母分式加法法则：\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad + bc}{bd}\)（\(b≠0\)，\(d≠0\)）分式乘方法则：\((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)（\(n\)为正整数，\(b≠0\)）随机给出一些简单的分式基本运算题目，如\(\frac{2x}{3y}×\frac{9y^2}{4x^2}\)，\(\frac{5a}{6b}÷\frac{10a}{3b^2}\)，\(\frac{3}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}\)，\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}\)，\((\frac{3m}{2n})^3\)等，让学生在练习本上计算，然后请几位学生上台板演，其他学生进行评价，巩固分式的基本运算法则。回顾分数的混合运算顺序提问学生分数混合运算的顺序，预设学生回答：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的，括号的顺序是先小括号，再中括号，最后大括号。给出一道分数混合运算题目，如\(\frac{1}{2}×(3 - \frac{1}{2})÷\frac{5}{4} + \frac{3}{8}\)，请学生说出运算顺序并进行计算，复习分数混合运算顺序，为引入分式混合运算做铺垫。引出课题提出问题：既然我们已经熟悉了分式的基本运算和分数的混合运算顺序，那么分式的混合运算又该如何进行呢？比如\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}÷\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 2}\)这样的式子，包含了分式的乘除、加减多种运算，该按照怎样的顺序和方法来计算呢？由此引出本节课的课题 —— 分式的混合运算。（二）探索新知（15 分钟）分式混合运算顺序的探究展示问题：计算\((\frac{a}{b})^2×\frac{b}{a}÷\frac{a}{b}\)。引导学生思考：类比分数混合运算顺序，这个式子应该先算什么，再算什么？让学生尝试计算，可能有部分学生直接从左到右依次计算，也可能有学生先算乘方。请不同做法的学生上台展示计算过程。假设先算乘方的学生做法如下：\((\frac{a}{b})^2×\frac{b}{a}÷\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}×\frac{b}{a}÷\frac{a}{b}\)（先算乘方，根据分式乘方法则）\(=\frac{a^2}{b^2}×\frac{b}{a}×\frac{b}{a}\)（再将除法转化为乘法，根据分式除法法则）\(=\frac{a^2×b×b}{b^2×a×a}\)（根据分式乘法法则进行分子分母分别相乘）\(=1\)（约分得到结果）假设直接从左到右依次计算的学生做法如下：\((\frac{a}{b})^2×\frac{b}{a}÷\frac{a}{b}=\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×\frac{b}{a}÷\frac{a}{b}\)（先将乘方展开）\(=\frac{a×a×b}{b×b×a}÷\frac{a}{b}\)（根据分式乘法法则计算前两个分式相乘）\(=\frac{a}{b}÷\frac{a}{b}\)（约分）\(=\frac{a}{b}×\frac{b}{a}\)（将除法转化为乘法）\(=1\)（计算得到结果）对比两种做法，引导学生讨论哪种做法更符合运算规律且不容易出错。通过讨论，让学生明确分式混合运算应先算乘方，再算乘除，最后算加减。进一步提问：如果式子中有括号呢？比如\((\frac{a}{b} + \frac{b}{a})×\frac{ab}{a^2 + b^2}\)，该如何计算？引导学生思考括号的作用以及运算顺序，得出有括号时要先算括号里面的结论。总结分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的，括号的运算顺序遵循先小括号，再中括号，最后大括号。用简洁语言概括为 “先乘方，后乘除，再加减，括号优先”。分式混合运算方法的探究展示问题：计算\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}÷\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}\)。引导学生分析式子中包含的运算类型，有分式的除法和减法。按照运算顺序，先算除法：\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}÷\frac{x - 2}{x + 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2}×\frac{x + 2}{x - 2}\)（对分子分母进行因式分解，根据平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)和完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)）\(=\frac{(x + 2)(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^2(x - 2)}\)（根据分式乘法法则，分子分母分别相乘）\(=1\)（约分得到结果）再算减法：\(1 - \frac{x}{x + 2}=\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}\)（将\(1\)化为分母为\(x + 2\)的分式）\(=\frac{x + 2 - x}{x + 2}\)（根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减）\(=\frac{2}{x + 2}\)（计算得到最终结果）组织学生小组讨论，总结在分式混合运算过程中的注意事项，如：运算顺序要严格遵守，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。分子分母为多项式时，要先进行因式分解，以便于约分和通分。注意运算过程中的符号变化，尤其是在减号和负号较多的情况下，要小心处理。计算结果要化为最简分式或整式。（三）例题讲解（15 分钟）例 1：计算\((\frac{2a}{a - b})^2×\frac{a^2 - b^2}{a^2}÷\frac{a}{b}\)分析：按照分式混合运算顺序，先算乘方，再算乘除。解：\((\frac{2a}{a - b})^2×\frac{a^2 - b^2}{a^2}÷\frac{a}{b}\)\(=\frac{(2a)^2}{(a - b)^2}×\frac{(a + b)(a - b)}{a^2}÷\frac{a}{b}\)（先算乘方，对分子分母分别乘方；对\(a^2 - b^2\)因式分解）\(=\frac{4a^2}{(a - b)^2}×\frac{(a + b)(a - b)}{a^2}×\frac{b}{a}\)（将除法转化为乘法）\(=\frac{4a^2×(a + b)(a - b)×b}{(a - b)^2×a^2×a}\)（根据分式乘法法则，分子分母分别相乘）\(=\frac{4b(a + b)}{a(a - b)}\)（约分得到结果）例 2：计算\(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}÷(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x}{x^2 - 1})\)分析：先算括号里面的减法，需要通分，再算括号外面的除法。解：先算括号里面的：\(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x}{x^2 - 1}=\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\)（对\(x^2 - 1\)因式分解）\(=\frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\)（通分，将\(\frac{x + 1}{x - 1}\)分子分母同乘\(x + 1\)）\(=\frac{(x + 1)^2 - x}{(x + 1)(x - 1)}\)（根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减）\(=\frac{x^2 + 2x + 1 - x}{(x + 1)(x - 1)}\)（展开\((x + 1)^2\)）\(=\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x - 1)}\)再算括号外面的除法：\(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}÷\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x - 1)}\)\(=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2}×\frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2 + x + 1}\)（对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法）\(=\frac{(x + 1)^2}{x^2 + x + 1}\)（约分得到结果）（四）课堂练习（10 分钟）计算(1)\((\frac{3x}{x - 2})^2×\frac{x^2 - 4}{9x^2}÷\frac{x}{x + 2}\)(2)\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}÷(\frac{x - 3}{x + 3} - \frac{x}{x + 3})\)(3)\((\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{a^2 + a})×\frac{a}{a - 1}\)解决实际问题：甲、乙两人同时从 A 地出发，骑自行车前往 B 地。甲每小时骑行的路程比乙多\(\frac{1}{x}\)千米，甲骑行\(3\)小时的路程为\(\frac{3(x + 1)}{x}\)千米，乙骑行\(2\)小时的路程为\(\frac{2(x + 2)}{x + 1}\)千米。求甲、乙两人的速度分别是多少？甲比乙每小时多骑行多少千米？（用含\(x\)的式子表示）教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调运算过程中的易错点，如运算顺序错误、因式分解不彻底、通分错误、符号问题等。对于实际问题，重点关注学生能否正确将实际情境转化为分式运算问题，并正确解答。（五）课堂小结（3 分钟）与学生一起回顾分式混合运算的顺序，通过提问的方式，让学生再次明确 “先乘方，后乘除，再加减，括号优先” 的运算顺序。总结分式混合运算过程中的注意事项，如分子分母为多项式时要先因式分解，注意符号变化，结果要化为最简等。强调分式混合运算与分数混合
1. 通过运用分式的运算法则进行加、减、乘、除以及乘方的混合运算，提高学生的计算能力和分式的应用能力．2．通过分式的混合运算过程，培养学生的代数化归的能力，培养学生自主探究、合作交流的习惯．
数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．　　
这道题的运算顺序是怎样的？ 　　　
较简单的分式的混合运算
　　对于不带括号的分式混合运算：(1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；(2)计算结果要化为最简分式．
较复杂的分式的混合运算
　　对于带括号的分式混合运算：(1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的；(3)计算结果要化为最简分式或整式．
解：(按运算顺序) 原式
(利用乘法分配律) 原式
例3 根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期，假设原计划每天修建盲道x m，那么，
(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
(1)原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
利用分式的混合运算解决问题
解析：(1)原计划修建需 天，
(2)实际修建比原计划缩短了 (天).
A. 40分B. 60分C. 80分D. 100分
3. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示）， 表示破损的部分，则破损部分的式子可能是( )
A. 0B. 12C. 10D. 8
运算顺序： (1)先乘方，再乘除，然后加减.如果有括号，先算括号里面的. (2)分式的加减、乘除都是分式的同级运算，同级运算是按从左往右的顺序运算.进行分式混合运算时注意： (1)正确运用运算法则； (2)灵活运用运算律； (3)运算结果要化简，且注意符号的处理，使结果为最简分式或整式.