2024~2025学年江西高三第一学期10月联考数学试题

这是一份2024~2025学年江西高三第一学期10月联考数学试题，共4页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则（ ）
A. B.
C D.
5. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. 0D.
6. 已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（ ）
A. 420B. 660C. 720D. 1200
8. 已知函数满足，且，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，，则（ ）
A. 与的值域相同
B. 与的最小正周期相同
C. 曲线与有相同的对称轴
D. 曲线与有相同的对称中心
10. 如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ）
A. 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B. 容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C. 当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为
D. 当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为
11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）
A. 的最小值为0
B. 当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C. 当的重心在轴上时，的面积为
D. 当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则______．
13. 已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________.
14. 若，，均为正数，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
16. 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．
（1）求．
（2）求．
（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．
17. 如图，在四棱锥中，底面平面.

（1）证明：平面平面PAB.
（2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值.
18. 已知点F1−1,0，，动点满足，动点的轨迹为记为．
（1）判断与圆的位置关系并说明理由．
（2）若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围．
（3）若直线与交于，两点，，分别为左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19. 在个数码1，2，…，构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，．
（1）比较与的大小；
（2）设数列满足，，求的通项公式；
（3）设排列满足，，，，证明：．