湖南省岳阳市岳阳楼区部分校2025届九年级下学期第一次质量监测数学试卷(含解析)

这是一份湖南省岳阳市岳阳楼区部分校2025届九年级下学期第一次质量监测数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．2025C．D．
2．在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图， ，且，，则等于（ ）

A．B．C．D．
6．为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．38，39B．42，40C．42，41D．42，42
7．已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（ ）
A．B．1C．D．
8．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形
C．相似三角形的面积比等于相似比D．圆内接四边形对角相等
9．如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接，若，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．分式方程的解为 ．
13．将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到新的一次函数的解析式为 ．
14．关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）．
15．农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图．则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为 ．（填“”或“”）
16．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
17．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k= ．
18．如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中
21．如图，在菱形中，于点于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：为等边三角形．
22．某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
(1)本次调查共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
(4)若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
(5)在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
23．六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表：
根据以下信息解答下列问题：
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．位于潍河南岸的万古塔，为唐式七层八角攒尖外加地宫建筑，框架结构．某校综合与实践小组测量万古塔的高度，形成了不完整的实践报告：
请根据以上测量数据，求万古塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，）
25．如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)求的值；
(3)求的值．
26．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．

(1)求该拋物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，若平分，求点的坐标；
(3)如图，若点是抛物线上位于第一象限的一动点，连接，直线交轴于点，过点作直线交轴于点，连接，在点的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围．
班级
购买数量（件）
购买总费用（元）
钢笔
笔记本
九（1）班
40
20
1100
九（2）班
20
60
1300
测量对象
万古塔
测量目的
运用三角比有关知识解决生活实际问题
测量工具
无人机
测量方案
1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；
2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行，到达点C处，然后沿垂直方向上升到达点Q，测得塔的顶端点A的俯角为，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
《湖南省岳阳市岳阳楼区部分校2024-2025学年九年级下学期第一次质量监测数学试题》参考答案
1．D
解：根据倒数的定义得的倒数是，
故选：D．
2．B
解：4000万．
故选：B．
3．B
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
4．D
解：A． ，故运算错误，不符合题意；
B． ，故运算错误，不符合题意；
C． ，故运算错误，不符合题意；
D． ，运算正确，符合题意．
故选：D．
5．D
解：，
，
，
，
．
故选：D．
6．C
解：已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43，
42出现了2次，出现的次数最多，
众数为42．
已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43，
处在最中间的两位数为40，42，
中位数为：．
故选：C．
7．A
解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
则m的值可能为．
故选：A．
8．B
解：A、无限不循环小数是无理数，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
B、由得三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故原选项正确， 是真命题，符合题意；
C、 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
9．C
解：A、由作图知，垂直平分，
，
故正确，不符合题意；
B、四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故正确，不符合题意；
C、如图，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故错误，符合题意；
D、四边形为矩形，
，
故正确，不符合题意；
故选：．
10．A
解：由题意可知，“图象数”为的二次函数为，
对称轴为直线，
，
，
解得：或，
或，
，
二次函数图象开口向上，
当时，的取值范围为，
故选：A
11．且
解：，
，，
且，
故答案为：且．
12．4
解：
去分母，方程的两边同时乘以得：，
解得，
检验：将代入
∴原方程的解为．
故答案为：4．
13．
解：由一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为，
化简，得，
故答案为：．
14．1（答案不唯一）
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
，
解上式得．
∴的任意实数．
∴a的值可以是1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
15．
解：从图中看到，乙的波动比甲的波动小，
∴乙的产量比较稳定，
∴，
故答案为：．
16．
连接OC、OD，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴的长=（cm），
故答案为：．
17．
解：设点，
∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
18．2
解：设正方形的边长为，
在正方形中，，，，
则，
延长至点，使得，连接，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，当点在上时，取得最小值，
∵的最小值为，即：，
在中，，即，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
19．3．
解：
20．，
解：
，
当时，
原式．
21．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：
（1）四边形是菱形，
．
又于点于点，
，
在与中，．
；
（2）证明：，
；
四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
又，
，
由（1）知，
，
．
是等边三角形．
22．(1)300
(2)见详解
(3)120°
(4)200
(5)
（1）解：本次调查共抽取的学生人数为：（人）；
故答案为：300；
（2）解：根据题意，
花样跳绳的人数为：（人）；
补全条形图如下：
（3）解：根据题意，
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；
（4）解：全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为：（人）；
（5）解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，
所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．
23．(1)钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元；
(2)最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，见解析．
（1）解：设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元；
（2）解：（2）最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由如下：
设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本，
根据题意得：，
解得：，
设九（3）班购买这两种商品共花费元，
则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，
最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本．
24．
解：如图，延长交于E，延长交于F，
根据题意，得，，四边形、都是矩形，
∴，，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
答：万古塔的高度约为．
25．(1)见解析
(2)
(3)
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴∠ADC=∠ABC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图：过点D作于H，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在中，，
∴．
26．(1)
(2)
(3)四边形的面积不会改变，四边形的面积为
（1）解：设抛物线的解析式为：，
把代入上式得，得，
；
（2）解： 记与轴的交点为点，过点作于点，如图所示：

又平分，
，，
由（1）得，当时，，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得：，
，
联立，
解得：或（舍去），
将代入中，得，
；
（3）解：设点，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理可得：直线的解析式为：，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
线段的长度为，
，
四边形的面积不会改变，四边形的面积为．
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C