【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：45　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离（含答案）

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课时规范练45　利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离1.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2. (1)求证:B1F⊥平面ADF;(2)若C1P=13C1A1,证明:PF∥平面ADB1.2.(13分)(2025·浙江开化模拟)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,E,F分别为BB1,CC1的中点.(1)证明:A1F∥平面CDE;(2)求三棱锥A1-CDE的体积.3.(15分)(2024·浙江丽水模拟)如图所示的几何体为圆台的一部分,上、下底面分别为半径为1,2的扇形,D1O=OB,体积为14π9. (1)求AB的长.(2)劣弧AB上是否存在点M使OB1∥平面AD1M?猜想并证明.4.(15分)(2024·浙江绍兴模拟)如图,四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形,平面α与AD,SA,SC分别交于点P,Q,R,且APAD=SQSA=CRCS,点M在直线SB上运动,在线段CD上是否存在一定点N,满足:①直线MN∥平面α;②对所有满足条件①的平面α,点M都落在某一条长为m的线段上,且m|SB|=103?若存在,求出点N的位置;若不存在,说明理由. 5.(17分)(2025·浙江嘉兴模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面ABCD所成角为45°,四边形ABCD是梯形,AD⊥AB,BC∥AD,AD=2,PA=BC=1. (1)证明:平面PAC⊥平面PCD.(2)若T是CD的中点,M是PT的中点,求点P到平面ABM的距离.(3)若T是线段CD上的动点,PT上是否存在一点M,使PT⊥平面ABM?若存在,求出点M坐标;若不存在,请说明理由.答案：1.证明 (1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC,取B1C1的中点D1,则DD1⊥平面ABC,分别以CB,AD,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=AC=AA1=3,BC=2,所以A(0,-22,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),A1(0,-22,3),B1(1,0,3),C1(-1,0,3),因为CF=2,所以F(-1,0,2).故B1F=(-2,0,-1),DA=(0,-22,0),DF=(-1,0,2).因为B1F·DA=0,B1F·DF=0,所以B1F⊥AD,B1F⊥DF,又AD∩DF=D,AD,DF⊂平面ADF,所以B1F⊥平面ADF.(2)因为C1P=13C1A1=13(1,-22,0)=(13,-223,0),所以P(-23,-223,3),所以PF=(-13,223,-1).设平面ADB1的法向量为n=(x0,y0,z0),则n·DA=0,n·AB1=0,有-22y0=0,x0+22y0+3z0=0,取z0=1,则n=(-3,0,1).因为PF·n=0,PF⊄平面ADB1,所以PF∥平面ADB1.2.(1)证明 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1两两垂直,且AA1=2AB=4,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,4).因为E,F分别为BB1,CC1的中点,所以E(2,0,2),F(2,2,2),则CD=(-2,0,0),CE=(0,-2,2),A1F=(2,2,-2).设平面CDE的一个法向量为m=(x,y,z).则CD·m=0,CE·m=0,即-2x=0,-2y+2z=0,令y=1,则有x=0,z=1,即m=(0,1,1).因为A1F·m=2×0+2×1+(-2)×1=0,所以A1F⊥m.又A1F⊄平面CDE,所以A1F∥平面CDE.(2)解 如图,连接A1E,由(1)可知,A1E=(2,0,-2),cos=A1E·m|A1E||m|=-22×22=-12,所以A1E与平面CDE所成角的正弦值为12.注意到|A1E|=22,所以点A1到平面CDE的距离为22×12=2,而CD=(-2,0,0),CE=(0,-2,2),则CD·CE=0,|CD|=2,|CE|=22,所以CD⊥CE,三角形CDE的面积为12×2×22=22,所以三棱锥A1-CDE的体积为13×22×2=43.3.解 (1)由题意可知D1O=OB=2,设∠A1D1B1=∠AOB=α,设上底面的面积为S1,下底面的面积为S2,则S1=12×1×1×α=α2,S2=12×2×2×α=2α,所以几何体的体积V=13(S1+S1S2+S2)·D1O=13(α2+α2+2α)·2=7α3=14π9,解得α=2π3.在△AOB中,由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB=12,所以AB=23.(2)不存在,证明如下:如图,过点O作OB的垂线交劣弧AB于点N,由(1)可知∠AOB=2π3,所以∠AON=π6.以ON,OB,OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,-1,0),D1(0,0,2),B1(0,1,2),O(0,0,0).设M(2cos β,2sin β,0)(-π6