重庆市第七中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市第七中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清分：150分 考试时间：120分钟
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A. 2B. C. 6D.
3. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A B. C. D.
4. 在中，为中点，连接，为的中点，，则的值为（ ）
A B. C. D. 1
5. 已知，，则在上的投影向量是（ ）
A B. C. D.
6. 中，，点在上，，，则（ ）．
A. 12B. 20C. 40D. 48
7. 如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
8. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是的外心，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
C. 若点为的重心，则
D. 若且，则
10. 已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，，则外接圆半径为4
C. 若，则为直角三角形
D. 若，是钝角三角形
11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）
A. 周长为
B. 三个内角A，C，B满足关系
C. 外接圆半径为
D. 中线CD的长为
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，．若，则________．
13. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为________．
14. 已知平面向量，，则的取值范围是________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值．
16. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角,，的对边分别为，，，且满足________．
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长．
17. 如图，在等边中，点满足，点满足，点是边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若的边长为4，试求与夹角的余弦值．
18. 在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求的大小；
（2）设的中点为，且，求的取值范围．
19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上.
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，，由点对施以视角运算，，求最小值.
重庆市第七中学校 2024-2025学年度下期
高2027届第一次月考 数学试题
清分：150分 考试时间：120分钟
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的概念得出的值即可.
【详解】为实数，则，
是纯虚数，则，
则
故选：D
2. 已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A. 2B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的坐标，再根据两向量共线的坐标关系列出方程，进而求解的值.
【详解】已知，，可得：
因为与共线，，，可得：
求解：实数.
故选：B.
3. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理即可求解；
【详解】因为，，
所以，
由，
可得：，
故选：C
4. 在中，为中点，连接，为的中点，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量得线性运算，结合平面向量基本定理得到的值，进而得解.
【详解】由已知得,，
所以，
所以
所以
又因为，
所以，，
所以
故选：B.
5. 已知，，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的投影向量的计算公式求得结论.
【详解】,,,
则在上的投影向量是：
.
故选：A.
6. 在中，，点在上，，，则（ ）．
A. 12B. 20C. 40D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在这个向量上的投影的乘积，可得到答案．
【详解】
设在上的射影为,如图所示.
由已知的,所以，所以,
所以,
所以向量在上的投影为,
所以，
故选：D.
7. 如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得.
详解】设，依题意，，，，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
由，
可得：
解得：
故选：A
8. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是的外心，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】通过正弦定理将边与角的关系进行转化，再利用向量数量积的运算和已知条件建立方程组，求解出和的值，最后计算.
【详解】∵，根据正弦定理知道.
已知，，，可得
因为点是的外心，所以，.
将分别与、作数量积：
又因为，，所以可得方程组：
,解方程组求出、 .
则.
故选：B．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
C. 若点为的重心，则
D. 若且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用向量得点乘积大于零且不能同向，列不等式组求解，判定A；利用共线向量定理判定B；利用三角形重心公式判定C；利用向量得点乘积的运算和意义判定D.
【详解】选项A：
计算向量.当与夹角为锐角时，
但当时，，夹角为0°，不属于锐角，故的取值范围应为，选项A错误.
选项B：
根据向量共线定理，若非零向量与平行，必存在唯一实数使得，选项B正确.
选项C：
重心满足，当重合时,
选项C正确.
选项D：
，
方法一：等价于，又等价于在上的投影相等，
方法二：等价于等价于与垂直时条件成立，
不能保证一定有，比如如图所示：
选项D错误.
综上，正确答案为B、C.
故选：BC
10. 已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，，则外接圆半径为4
C. 若，则为直角三角形
D. 若，是钝角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项：有两种情况.一是，；二是，，不能确定.
B选项：根据（为外接圆半径），将，代入求.
C选项：由，用正弦定理化边为角，再因展开化简，得，结合范围得.
D选项：由，用正弦定理化角为边得，再用余弦定理判断为钝角.
【详解】对于A，因为，，所以或.
当时，即，此时为等腰三角形；
当时，即，则，此时为直角三角形.
所以仅由不能得出一定为等腰三角形，选项错误.
对于B，已知，，则由正弦定理，
所以，即外接圆半径为，选项正确.
对于C，已知，由正弦定理可得.
因为，所以.
则，根据两角和的正弦公式展开可得：
，即
因为、是三角形内角，所以，
所以，即，所以为等腰三角形，选项错误.
已知，由正弦定理可得，，.
将其代入可得.
所以.
因为，所以，即为钝角，所以是钝角三角形，选项正确.
故选：BD.
11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）
A. 周长为
B. 三个内角A，C，B满足关系
C. 外接圆半径为
D. 中线CD的长为
【答案】ABD
【解析】
分析】
直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用判断ABCD的结论，从而得解．
【详解】现有△ABC满足sinA：sinB：sinc＝2：3：，
所以a：b：c＝2：3：，
设a＝2t，b＝3t，ct，t＞0，
利用余弦定理csC，
由于C∈（0，π），
所以C．
所以A+B，故A+B＝2C，所以△ABC三个内角A，C，B成等差数列，故B正确；
利用S△ABC，
所以absinC•2t•3t•，解得t＝1．
所以：a＝2，b＝3，c，
所以△ABC的周长为5，故A正确；
利用正弦定理 2R，△ABC外接圆半径R为，故C错误；
如图所示：
利用正弦定理，解得sinA，所以csA，
利用余弦定理：CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•csA＝92×3，
解得CD，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力．
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题可根据向量垂直的性质来求解的值.
【详解】已知，，且.
根据向量垂直的性质可得，即.
解得.
故答案为：.
13. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理，代入数据化简得，所以关于的一元二次方程有两个不相等的正根，所以，解得，进而可求出角的取值范围.
【详解】由余弦定理，得，
整理得，关于的一元二次方程有两个不相等的正根，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，角的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知平面向量，，则的取值范围是________．
【答案】．
【解析】
【分析】由平方得到，再设，，结合三角函数性质即可求解；
【详解】∵，，∴，
设，，，
则，，，
∵，∴，则，
∴．
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平面向量基本定理用分别表示出，有，且都过点B，进而可证A，B，D三点共线；
（2）根据已知条件有，进而可求解.
【小问1详解】
证明：，，，
则，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线；
【小问2详解】
因为和是方向相反的两个向量，
所以存在实数，
使，且，
又，不共线，所以，解得或，
因为，所以，
所以．
16. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角,，的对边分别为，，，且满足________．
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式以及正弦定理和余弦定理可化简求得角；
（2）利用余弦定理和面积公式可得方程组和，即可求得.
【小问1详解】
在中，
选①：，则，
则由正弦定理得，则，
又，所以.
选②：，则，
利用正弦定理得，则，
又，所以.
选③：，则利用正弦定理得，
则，则，
又，所以.
【小问2详解】
的面积为，则，即，
又，则由余弦定理可得，即，即，
故，则，
则的周长为.
17. 如图，在等边中，点满足，点满足，点是边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若的边长为4，试求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算即可求解；
（2）法一：由，，代入夹角公式即可；法二：建系，由向量的坐标运算即可求解.
【小问1详解】
点满足，点是边上的中点，
故，，
所以；
小问2详解】
方法一（基底法）点满足，
故，
等边的边长为4，设与夹角为，
，
，故，
，故，
则．
方法二（坐标法）如图，以的中点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系．
等边中，，，，，
∴，,．
∵点是边上的中点，∴，∴.
∵，∴，∴．
∵，∴，∴．
∴.
18. 在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求的大小；
（2）设的中点为，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合辅助角公式化简求解即可；
（2）设，则，由正弦定理得到， 进而可求解；
【小问1详解】
根据题意可得，
即，
则．
因为，所以，
即，
故，又，解得；
【小问2详解】
设，则，，
根据正弦定理可得，
所以，，
所以
，
由，得，所以，
故的取值范围为．
19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上.
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解；
（2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长；
（3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【小问1详解】
因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
【小问2详解】
因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
所以，
所以的周长为.
【小问3详解】
因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出，即.