浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版），共28页。
1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
试卷Ⅰ（选择题，共30分）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ）
A. 升国旗的过程B. 摩天轮的转动
C. 汽车刹车时的滑动D. 电梯的运行
2. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ）
A. 向左平移3个单位B. 向右平移3个单位
C. 向上平移3个单位D. 向下平移3个单位
6. 如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D. 2：1
8. 如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
9. 已知抛物线，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是（ ）
A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 等腰，，，，则（ ）
A. 3B. C. D. 4
试卷Ⅱ（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 抛物线的对称轴是_____．
12. 已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________．
13. 如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则______．
14. 如图①是小聪帮妈妈做一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是______cm．
15. 如图（1），已知扇形，作如下操作：步骤1：以，为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2．直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，（如图②）经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是______．
16. 已知抛物线，回答下列问题：
（1）无论取何值，抛物线恒过定点______和______；
（2）当且抛物线顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题有8小题，第17、18小题每小题6分，第19、20每小题8分，第21、22每小题10分，第23、24每小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 已知二次函数的图象经过点和点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数图象与轴，轴交点坐标．
18. 2024山下湖・世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
（1）若随机抽取一张，求抽到卡片概率；
（2）若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率．
19. 如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．
（1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的；
（2）图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的．
20. 如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，．
（1）求的值；
（2）求长．
21. 每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．

（1）求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）；
（2）现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度．
22. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
23. 已知二次函数（，，是常数，且）．
（1）若，函数图象过点．
①用含的代数式表达；
②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．
（2）若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．
24. 如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
2024-2025学年第一学期期末考试试卷
九年级数学
考生须知：
1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
试卷Ⅰ（选择题，共30分）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ）
A. 升国旗的过程B. 摩天轮的转动
C. 汽车刹车时的滑动D. 电梯的运行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键．
根据旋转的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意；
C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题
故选：B ．
2. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
根据比例的性质设，代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
设，
，
故选：A．
3. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．
根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意得任意摸出一球是红球的概率是，
故选：C．
4. 已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：设半径为r，
根据题意得，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内．
5. 在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ）
A. 向左平移3个单位B. 向右平移3个单位
C. 向上平移3个单位D. 向下平移3个单位
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，
抛物线向上平移3个单位得到，
平移方式是向上平移3个单位，
故选：C．
6. 如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，得到，得出，即可得到答案．
【详解】如图，连接，
是的中点，
，
，
，
故选：A．
7. 如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D. 2：1
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：与是位似图形，，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
8. 如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到，得出，根据三角形内角和定理求出，根据弧长公式，扇形面积公式求出点运动路径长度及边扫过的面积即可．
【详解】解：直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，
，
，
，
，
点运动路径长度为，
边扫过的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9. 已知抛物线，在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是（ ）
A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，确定抛物线的开口向上，顶点坐标为是解题的关键．
根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得到顶点坐标为，即可得到答案．
【详解】解：抛物线，
抛物线的开口向上，顶点坐标为，
抛物线的顶点在轴下方，到的距离等于，
在轴的上方到的距离等于的点有个，
在该抛物线上到轴的距离等于的点的个数是个，
故选：C．
10. 等腰，，，，则（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键.
将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论.
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故选：B.
试卷Ⅱ（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 抛物线的对称轴是_____．
【答案】直线
【解析】
【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
【详解】解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
12. 已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据比例中项的概念，可得，可得，即可得到的值，注意线段的长为正数．
【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，且，，
∴，
∴，
解得，
又∵线段的长度是正数，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．
13. 如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．
本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
故答案为：．
14. 如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点，
根据题意得，，
，
，
，
，
锅盖最低点到的距离是，
故答案为：．
15. 如图（1），已知扇形，作如下操作：步骤1：以，为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2．直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，（如图②）经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，线段垂直平分线的定义和尺规作图，勾股定理，根据题意可得直线l垂直平分，则，，由勾股定理得到，再由扇形面积计算公式得到，则．
【详解】解：由作图方法可知，直线l垂直平分，
∴，，
由作图方法可知，
∴，
设，
∵扇形面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 已知抛物线，回答下列问题：
（1）无论取何值，抛物线恒过定点______和______；
（2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是______．
【答案】 ①. ②. ③. 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点；
（2）根据题意得到对称轴为直线
【详解】解：（1）根据题意，，
令，则或，
当时，，
当时，，
无论取何值，抛物线恒过定点，，
故答案为：，；
(2)由题意，先将抛物线化为顶点式：
，
顶点纵坐标为，
展开．
因为时，，
，当且仅当时等号成立，
，对于，
有，
当且仅当，即时等号成立．
此时顶点纵坐标最大，
抛物线为，
其对称轴．
当时，随的增大而增大．
已知抛物线经过，且，
因为关于对称轴的对称点为，
所以或．
故答案：或．
三、解答题（本大题有8小题，第17、18小题每小题6分，第19、20每小题8分，第21、22每小题10分，第23、24每小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 已知二次函数的图象经过点和点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数图象与轴，轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）和；
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标．
本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【小问1详解】
解：二次函数的图象经过点和点．
∴，
解得，
∴．
【小问2详解】
解：由，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为；
当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和．
18. 2024山下湖・世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
（1）若随机抽取一张，求抽到卡片的概率；
（2）若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可；
（2）用画树状图的方法解答即可．
本题考查了简单地概率公式，画树状图法其余概率，熟练掌握公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
【小问2详解】
解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种，
∴恰好选中和同时被抽中的概率．
19. 如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．
（1）图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的；
（2）图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积性质，熟练掌握作图是解题的关键．
（1）图①中，利用同高的两个三角形的面积之比等于对应底的比，取画图即可；
（2）利用平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，使得即可．
本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理
【小问1详解】
解：如图，使得，连接.
则面积为面积的；
则点D即为所求．
【小问2详解】
解：如图，构造平行四边形，且，
使得，
设与交于点E．
∵，
∴，
则面积为面积的；
则点E即为所求．
20. 如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，．
（1）求的值；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．
（1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题；
（2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题．
【小问1详解】
解：因为，
所以．
又因为，
所以，
故答案为：；
【小问2详解】
解：因，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以．
21. 每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．

（1）求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）；
（2）现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式．
（2）根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，再计算的值，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，．
∴，，，，
故抛物线的对称轴为，
则，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：根据题意，两立柱间的距离为，
则，，
把代入解析式，
得，
故．
故立柱长度为米．
22. 如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得到，根据垂径定理得到，即可得到结论；
（2），根据勾股定理求出，继而得到，可得到，得出，，计算即可得到答案．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
是的中点，
垂直平分，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1），
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
23. 已知二次函数（，，是常数，且）．
（1）若，函数图象过点．
①用含的代数式表达；
②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．
（2）若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．
【答案】（1）①；②见详解；
（2）
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
(1) ①将代入，得，即可得；
②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论．
(2)由题意可得，求出h的取值范围即可．
【小问1详解】
解∶①，
，
将代入，
得，
；
②证明∶令，
，
，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点；
【小问2详解】
解∶，点和在抛物线上，
对称轴为直线，，
，
解得，
的取值范围为．
24. 如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可；
（2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明；
（3）如图所示，过点C作于点H，首先得到，得到，，同理可证，，得到，然后求出，勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴
∴；
【小问2详解】
∵四边形内接于，
∴
∵
∴
又∵
∴；
【小问3详解】
如图所示，过点C作于点H
∵
∴
∴
∴
∴
同理可证，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
由（2）得，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．