四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 设，，，则， 在中则的值为， 已知，则．， 的值可能是等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设，，，则
A. B. C. D.
5. 在中则的值为（ ）
A B. C. 或D. 或
6. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. （多选）下列说法正确是（ ）
A. 零向量是没有方向的向量B. 零向量的长度为0
C. 相等向量的方向相同D. 同向的两个向量可以比较大小
10. 的值可能是（ ）
A. B. 3C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图象的一条对称轴为直线
C. 当时，区间上单调递增
D. 存在实数，使得在区间上恰有2023个零点
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，且，则________．
13. 若，则__________．
14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，且，求下列各式的值．
（1）
（2） .
16. 已知.
⑴化简并求函数最小正周期
⑵求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合
17. 已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴．

（1）求的解析式；
（2）若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围．
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围.
19. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）当A在何处时，矩形ABCD面积S最大？最大值为多少？
嘉陵一中高2024级高一下第一次月考
数学试题
本试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.
【详解】.
故选：A
2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为.
故选：B.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．
【详解】因为角的终边经过点，
则
故选：D.
4. 设，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，可得的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，根据对数函数的单调性，可得，
，即，
又由，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中根据对数函数的单调性和余弦函数的性质，得到的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5. 在中则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦值的大小分析可得，进而求，再根据结合两角和差公式运算求解，注意的符号.
【详解】因为，即，可知，
且，则，
若，可得；
若，可得；
综上所述：的值为或.
故选：D.
6. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值.
【详解】因为，所以，即，，
又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后，
所得函数，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以，，即，，
当时，，所以的最小值为.
故选:A.
7. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象的变换规律得出变换后的函数的解析式为，然后求出该函数的对称轴方程，利用赋值法可得出该函数图象的一条对称轴.
【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
令，解得，
当时，可得该函数图象的一条对称轴方程为.
故选D.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了三角函数图象对称轴的求解，根据图象变换求出变换后的函数解析式是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
8. 已知，则（ ）．
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倍角与半角公式，
将题目化为，因式分解，然后根据三角函数的有界性对的值进行取舍，由此得解.
【详解】解：由，将，代入化简
得，
即，解得（舍去）或，
故选；B．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 零向量是没有方向的向量B. 零向量的长度为0
C. 相等向量的方向相同D. 同向的两个向量可以比较大小
【答案】BC
【解析】
【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误.
【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误，
对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确，
对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确，
对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误，
故选：BC.
10. 的值可能是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据的不同取值去绝对值即可求解.
【详解】当是第一象限角时，均大于0，；
当是第二象限角时，大于0，小于0，；
当是第三象限角时，小于0，大于0，；
当是第四象限角时，小于0，大于0，；
故选：ACD
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图象的一条对称轴为直线
C. 当时，在区间上单调递增
D. 存在实数，使得在区间上恰有2023个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；结合正弦函数的单调性可判断C；取，结合正弦函数的零点可判断D.
【详解】对于A，，
故
，即为的一个周期，
说明不是的最小正周期，A错误；
对于B，
，
故图象的一条对称轴为直线，B正确；
对于C，当时，，则，
由于正弦函数在上单调递增，且，
故上单调递增，且，
此时，
而在上单调递减，则在上单调递增，
故在上单调递增，C正确；
对于D，由A可知即为的一个周期，且的最小正周期为，
故的最小正周期为，
当时，，
当时，，则在上的零点为和，
故当时，恰有个零点，
且第个零点为，
故当时，恰有个零点，
即存在实数，使得在区间上恰有2023个零点，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了含型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，且，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题设求得，应用二倍角正弦公式求目标式的值即可.
【详解】由题设，则.
故答案为：
13. 若，则__________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据诱导公式计算．
【详解】，
故答案为：0.
14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围；再由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围，取交集即可.
【详解】当时，，
函数在上的两个零点只能满足或，
所以，解得①．
由题意，得，
当时，．
由①知，
函数在上的两个零点只能满足或，
所以，解得②．
由①②，得的取值范围是．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键是由角的范围，确定函数和在上两个零点的值，进而通过不等式求的取值范围.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，且，求下列各式的值．
（1）
（2） .
【答案】（1）0； （2）2.
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的关系可得tan α＝－2，再应用商数关系化简求值即可.
（2）应用诱导公式化简求值.
【小问1详解】
因为且，
所以sin α＝－，则tan α＝－2.
＝0；
【小问2详解】
＝＝－tan α＝2.
16. 已知.
⑴化简并求函数的最小正周期
⑵求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合
【答案】(1) ,最小正周期
(2)
【解析】
【分析】（1）由倍角公式，将函数化简，然后得其最小正周期；
（2）由（1）得知函数，根据正弦函数的性质，求得的最值以及此时的取值.
【详解】（1）由题
所以函数的最小正周期
（2）由（1）可知，当是，即时，函数取最大值，最大值为1-1=0,
所以，当
【点睛】被踢考查了三角函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变化对函数进行化简，再利用性质，属于基础题.
17. 已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴．

（1）求的解析式；
（2）若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由周期得到，代入对称轴得到，再根据得到A=2，即可得到解析式；
（2）根据题意分析可得与有且仅有一个交点，结合正弦函数分析运算.
【小问1详解】
由已知可得，故，
且，解得，
因为直线为图象的一条对称轴，则，
解得，且，
当时满足条件，此时，
则，
又因为，则，
所以.
【小问2详解】
由题意可知，
整理得，
原题意等价于与有且仅有一个交点，
因为，则，且，
可得或，解得或，
所以m的取值范围．
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）借助正弦型函数的单调性计算即可得；
（2）借助正弦型函数的性质计算即可得；
（3）原问题可转化为方程在区间上有且仅有一个解，即可得，即可得解.
【小问1详解】
令，，
解得，，
故的单调递增区间为，；
【小问2详解】
当时，，
则在区间上的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
令，即，
当时，，
即方程在区间上有且仅有一个解，
即，解得，
即的取值范围为.
19. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
【答案】（1）;（2） 当A在弧MN的四等分点处时，．
【解析】
【详解】（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
，
，

（2）设
则，


，
即时，
，此时A在弧MN的四等分点处
答：当A在弧MN四等分点处时，