湖北省武汉市江岸区、江汉区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份湖北省武汉市江岸区、江汉区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ）
A．y=2xB．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，易知不是幂函数，错误；
对于B，易知其为偶函数，错误；
对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为，
又，奇函数，正确；
对于D，易知其为偶函数，错误.
故选：C.
2. 已知函数则=（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得，
∴，当且仅当时，即时取等号，
∴当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值8.
故选：D.
4. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，，
故.
故选：A.
5. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．9
【答案】B
【解析】，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
6. 若函数在单增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，此时，令，则是一次函数，
所以在上单调递增.
且当时，，满足的定义域要求，
所以在上单调递增，故符合题意.
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为.
所以在上单调递增.
要使有意义，则在上恒成立.
当时，，因为，所以，
满足，所以符合题意.
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为.
那么在上单调递增，在上单调递减，
所以不可能在上单调递增，故不符合题意.
综合以上三种情况，实数的取值范围是.
故选：C.
7. 已知函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】已知函数的定义域为，对于，则有.
解得.
因为函数的定义域为，所以对于，有.
正切函数的周期是，在上单调递增，且，.
所以，.
解不等式，可得，即，；
解不等式，可得.
当时，；当时，.
综合前面两步，取与和的公共部分.
与的公共部分为；与的公共部分为.
所以函数的定义域为.
故选：B.
8. 已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，…使得（其中i=1，2，…，n），则称为的“n重覆盖函数”.若为的“2025重覆盖函数”，则正实数ω的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，令，，
因为，所以，所以，
所以，
若为的“2025重覆盖函数”，
所以恰好存在2025个不同的实数，…，使得，
因为，所以，
所以有2025个，
所以由正弦函数性质得，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．“”是“不等式成立”的必要不充分条件
C．一元二次不等式的解集为，则
D．若且，则
【答案】ABC
【解析】的否定是“”，A选项正确；
不等式等价于，则“”是“不等式成立”的必要不充分条件，B选项正确；
一元二次不等式的解集为，则，
所以，，C选项正确；
因为，所以，当且仅当取等号，
即得，则，解得，即，D选项错误.
故选：ABC.
10. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由三角函数定义可知，即A错误；
对于B，易知，所以，即B正确；
对于C，化简，即C正确；
对于D，将代入可得：
原式，可得D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（ ）
A．的解析式为
B．若（且），则实数的取值范围为
C．函数的零点为1，
D．方程 有四个不同的实数根，求的取值范围为
【答案】BCD
【解析】根据题意可得，根据的图象与无限接近，所以，故，因此，故A错误，
由于函数，故为偶函数，当时，为单调递增函数，由得，解得或，故B正确，
对于C，令，则，故，故，解得，C正确，
对于D，要使有四个不同的实数根，令，则在上有两个不相等的实数根，故，解得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
【答案】0
【解析】.
13. 一种药在病人血液中的量低于1000mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在 h内再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h，参考数据：）.
【答案】4.8
【解析】设最迟应在小时内再向病人的血液补充这种药，
依题意，可得，整理，得，
又因为，
∴最迟应在4.8h内再向病人的血液补充这种药．
14. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，则在时的零点为 .
【答案】
【解析】，
由得，即，
故或，
设，则为增函数，
当时，，故，
化简得即，故，得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求值：
（1）；
（2）.
解：（1）原式.
（2）原式.
16. 已知函数.
（1）若函数最小正周期为2，求图象的对称轴方程；
（2）若求在区间的单调减区间及最小值.
解：（1）依题意：，∴，令，得，，
所以图象的对称轴方程为，.
（2）令，
因为，的单减区间是和，
且得，
由得，
所以在区间的单调减区间为和，
又，当即时，，取最小值.
17. 某同学用“五点法”画函在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置；
（2）请在网格图中用光滑曲线作，的简图；
（3）若函数有三个零点，求实数m的值取范围.
解：（1）
（2）根据上表和五点法，画出函数图象如下：
（3）当时，令，得：.
∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.
即此时与的图象有2个交点，∴.
18. 已知且
（1）求的值；
（2）若求的最值；
（3）对成立，求实数m的取值范围.
解：（1）因为①，∴，
∴，∴，又，
②，由①②得，，.
（2）∵，
令，则，，
当时，，
当或即或时，.
（3）要使，即，
所以，即，，
依题意得，所以数m的取值范围是.
19. 如图所示，已知函数，在内取得一个最大值和一个最小值.
（1）求函数的解析式：
（2）是否存在实数m满足?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（1）由题意可得，，则，
可得，所以，
因为点在函数图象上，可得，即，
因为，则，可得，即，
所以.
（2）因为，
即，
则实数满足，解得，
因为，则，
同理可得，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
令，可知函数在上单调递增，
若，只需，
解得，
综上所述：存在，使成立.