湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022~2023学年度第一学期期末质量检测高一数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，若，则的取值范围（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围.

【详解】由解得即，

所以，

因为，所以，

故选:B.

2. 命题“，都有”的否定是（）

A. ，使得 B. ，使得

C，使得 D. ，使得

【答案】A

【解析】

【分析】全称改存在，再否定结论即可.

【详解】命题“，都有”的否定是“，使得”.

故选：A

3. 已知，则等于（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式化简，求出，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得.

【详解】，则，

.

故选：B.

4. 已知函数且，则（ ）

A. -5 B. -3 C. 3 D. 随的值而定

【答案】C

【解析】

分析】先推导，再根据求解即可

【详解】由题意，，又，故.

又，故

故选：C

5. 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分函数在R上的单调递减和单调递增求解.

【详解】当函数是R上的单调递减函数，

所以，解得，

因为且，

所以当时，不可能是增函数，

所以函数在R上不可能是增函数，

综上：实数a的取值范围为，

故选：B

6. 已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）

A. 1 B. 4 C. 8 D. 9

【答案】D

【解析】

【分析】，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案.

【详解】由对任意的实数均成立，

可得.

，当且仅当，即时取等号.则.

故选：D

7. 设，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分别判断出，，，即可得到答案.

【详解】.

因为，所以.

所以；

因为在R上为增函数，所以；

因为在上为增函数，且所以，即；

所以.

故选：D

8. 设函数，其中，，，为已知实常数，，若，则（）

A. 对任意实数， B. 存在实数，

C. 对任意实数， D. 存在实数，

【答案】A

【解析】

【分析】根据，可推出，整理化简后可得或，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.

【详解】由题意知 ，即 ，

即 ，

两式两边平方后可得 ，故或，

若 ，则 ，故，

此时 ，

若 ，则 ，故 ，

此时 ，

若 或 ，则 ，故对任意实数，，

则A正确，错误，

故选：A

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m和n之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列三角函数值为负数的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案.

【详解】对于A，，故A为正数；

对于B，，故B为负数；

对于C，，故C为负数；

对于D，，故D为负数；

故选：BCD

10. 下列计算或化简结果正确的是（）

A. 若， B. 若，则

C. 若，则 D. 若为第二象限角，则

【答案】AB

【解析】

【分析】利用，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.

【详解】对于A选项：，，故A正确；

对于B选项：，则，故B正确；

对于C选项：∵范围不确定，∴的符号不确定，故C错误；

对于D选项：为第二象限角，,,故D错误.

故选：AB.

11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（    ）

A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解

C. 方程有且仅有八个解 D. 方程有且仅有一个解

【答案】ABD

【解析】

【分析】

通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.

【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；

当时，方程只有两解；当时，方程有三解；

对于方程，当时，方程只有唯一解.

对于A选项，令，则方程有三个根，，，

方程、、均只有一解，

所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；

对于B选项，令，方程只有一解，

方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；

对于C选项，设，方程有三个根，，，

方程有三解，方程有三解，方程有三解，

所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；

对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，

所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.

12. 已知函数，零点分别为，，给出以下结论正确的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】先说明的图象关于直线对称，由题意可得，且，化简可得，判断B;写出的表达式，利用基本不等式可判断，判断A;利用零点存在定理判断出，写出的表达式，由此设函数，根据其单调性可判断.

【详解】对于函数，有，

即函数的图象关于直线对称，

由题意函数，的零点分别为，，

可知为的图象的交点的横坐标，

为的图象的交点的横坐标，

如图示，可得，且关于直线对称，

则，且，

故，即，故B正确；

由题意可知，

所以，

由于，即，A错误；

因为，，

且为单调减函数，

故在上存在唯一的零点，即，

故，

设，则该函数为单调递增函数，

故，且，故，

故C错误，D正确，

故选：

【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得，且关于直线对称，从而可得，且，然后写出以及的表达式，问题可解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知.若，则的值为_________.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角函数的诱导公式化简，结果为，结合可得，再利用诱导公式化简为，即得答案.

【详解】由题意，

由可得，

故，

故答案为：

14. 若正数，满足，，则值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出即可求解.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

联立解得，

所以，

故答案为：.

15. 己知实数，且，则的最大值是_______________．

【答案】2

【解析】

【分析】由已知可得，令，构造函数，根据函数的单调性，即可求出最大值.

【详解】解：由，

可知，

则，且有

，

令，

，

可知在上单调递减，

，

即的最大值是2，

故答案为：2.

16. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么经过_______h污染物减少50%（精确到1h）？取，

【答案】33

【解析】

【分析】代入给定的公式即可求解.

【详解】由题知，

当时，解得，

当时，

，解得：，

所以，

当时，

则有：，

即，

解得：.

故答案为：33.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 若，，且.

（1）解关于的不等式的解集（解集用的三角值表示）；

（2）求的最大值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意，用的三角函数值替换的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解.

【小问1详解】

，∴，

，因为

所以，

∴原不等式解集；

【小问2详解】

，

当且仅当即时取得等号.

18. 中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针重合次.

（1）建立关于的函数关系；

（2）求一天内分针和时针重合的次数.

【答案】（1）.

（2）22次.

【解析】

【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；

（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案.

【小问1详解】

设经过分针就与时针重合，为两针一天内重合的次数.

因为分针旋转的角速度为，

时针旋转的角速度为，所以，

即.

【小问2详解】

因为时针旋转一天所需的时间为（ ），

所以，于是,

故时针与分针一天内只重合22次.

19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为.

（1）求函数的解析式，并求的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1），

（2）

【解析】

【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；

（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.

【小问1详解】

因为，且，所以，由此得

.

【小问2详解】

由知，即

由于，得，与此同时，所以

由平方关系解得：，

.

20. 已知函数（为常数）.

（1）当，求的值；（参考数据：，）

（2）若函数为偶函数，求在区间上的值域.

【答案】（1）0.3（2）

【解析】

【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；

(2)根据偶函数的性质列方程求，判断函数的单调性，利用单调性求值域.

【小问1详解】

当时，，此时

【小问2详解】

函数的定义域为，

由偶函数的定义得恒有

即：也就是恒有,所以

当时，，

因为函数为上的增函数，所以在单调递减，

∴，

故在上值域.

21. 武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.

（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；

（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.

【答案】（1）.

（2）时，,

【解析】

【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案；

（2）由题意可得，，采用换元并结合二次函数性质,求得答案.

【小问1详解】

当时，设，a为比例系数，

由时满载可知，

即，则，

当时，，

故当时，,

故.

【小问2详解】

由题意可得，，

化简得，，

令，则，

当，即时，符合题意，此时.

22. 已知函数，，是常数.

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）设函数，试问，函数是否有零点，若有，求的取值范围；若没有，说明理由.

【答案】（1）

（2）没有，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；

（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.

【小问1详解】

若恒成立，即恒有

设，任取，且满足，由于，

由不等式性质可得，即，

所以函数在上单调递减,

所以,

所以，即；

所以的取值范围为.

【小问2详解】

由题意可知，即

设，问题转化为求的最小值，

由题意可知，此时，此时没有零点.