重庆市凤鸣山中学教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份重庆市凤鸣山中学教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=4−5i的实部为a，虚部为b，则a+b=( )
A. 7B. 5C. −1D. 9
2.设m、n是空间中不同的直线，α、β是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若l//m，m⊂α，则l//α
B. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n
C. 若α//β，m⊂α，则m//β
D. 若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α//β
3.如图所示，已知正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )
A. 8B. 2 2C. 4D. 2+2 3
4.已知向量a=(5,2)，b=(−4,−3)，若c满足3a−2b+c=0，则c=( )
A. (−23,−12)B. (23,12)C. (7,0)D. (−7,0)
5.如图，已知三棱锥V−ABC，点P是VA的中点，且AC=2，VB=4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
6.若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45π，则圆台的上、下底面的面积之和为( )
A. 9πB. 36πC. 45πD. 81π
7.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为( )
A. π3B. π2C. 2π3D. π
8.已知平面向量a,b满足|a|=1,⟨b,a+b⟩=π6，则|a−b|的最大值为( )
A. 2B. 2+1C. 3+1D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下面是关于复数z=7−i3+i的四个命题，其中的真命题为( )
p1:|z|= 5；p2:z−=2+i；p3：z的虚部是1；p4：z对应的点在第四象限.
A. p1B. p2C. p3D. p4
10.下列命题正确的( )
A. 若α∩β=b，P∈α，P∈β，则P∈b
B. 若a//b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α
C. 非零复数z1，z2对应的向量分别为OZ1和OZ2，若|z1+z2|=|z1−z2|，则OZ1⊥OZ2
D. 若|z−1|=2，则|z−1−3i|的最小值为5
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi−regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A. 该半正多面体的体积为40 23
B. 该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式V+F−E=2
C. 该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为3 3
D. 该半正多面体外接球的表面积为16π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=1+i(i为虚数单位)是关于x的方程x2+px+q=0(p,q为实数)的一个根，则p+q= .
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2−c2= 3ab，则C=______.
14.解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30∘，45∘，60∘，且CD=DE=22m，则解放碑的高AB为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设e1、e2是夹角为π3的两个单位向量，如果AB=3e1−2e2,BC=4e1+e2,CD=8e1−9e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若e1+λe2与λe1+e2的夹角为锐角，试求λ的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1中点，B1C1与平面AD1E交于点F.
(1)求证：BC1//面AD1E；
(2)求证：F为B1C1的中点.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为棱AB，PC上的点，且AE=2EB，FC=2PF.
(1)求证：BF//平面PDE；
(2)在棱AD上是否存在点G，使得PG//平面BDF？若存在求出AGDG的值；若不存在，说明理由.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3.
(1)若(sinA+sinB)(sinA−sinB)=sinBsinC，证明：c=2b；
(2)若a=2，AD是△ABC的中线，求AD的最大值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sinC=sin2A−sin2BsinC−sinB.
(1)求∠A；
(2)若a=3，b+c=3 3，
①∠BAC的平分线交BC于点D，求线段AD的长；
②若b>c，点P，Q是边AC上的两个动点，且∠PBQ=π6，设△PBQ的面积为S，求S的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：复数z=4−5i的实部为4，虚部为−5，则a+b=4−5=−1.
故选：C.
根据复数实部和虚部的定义求出a，b的值，进而求解即可．
本题考查复数的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．
在A中，l//α或l⊂α；在B中，m//n或m与n异面；在C中，由面面平行的性质定理得m//β；在D中，α与β平行或相交．
【解答】
解：由m、n是空间中不同的直线，α、β是不同的平面，知：
在A中，若l//m，m⊂α，则l//α或l⊂α，故A错误；
在B中，若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n或m与n异面，故B错误；
在C中，若α//β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m//β，故C正确；
在D中，若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α与β平行或相交，故D错误．
故选：C.
3.【答案】A
【解析】解：将直观图复原为原图，如图所示，
则OA=BC=1，OB=2 2，
∴AB=OC= 12+(2 2)2=3，
∴原图形的周长为1+1+3+3=8，
故选：A.
将直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则求得原图中线段的长，可得答案．
本题主要考查了由直观图还原实物图，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵向量a=(5,2)，b=(−4,−3)，且3a−2b+c=0，
∴c=2b−3a=2(−4,−3)−3(5,2)=(−8−15,−6−6)=(−23,−12).
故选：A.
根据向量的坐标运算，进行解答即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了空间中的直线平行问题，属于基础题．
根据题意画出图形，结合图形得出四边形EFPQ是平行四边形，计算平行四边形EFPQ的周长即可．
【解答】
解：过点P作PF//AC，交VC于点F，过点F作FE//VB交BC于点E，过点E作EQ//AC交AB于点Q，连接PQ，如图所示，
由图可知：EQ//PF，且EQ=PF，所以四边形EFPQ是平行四边形，
可得EF=PQ=12VB=2，EQ=PF=12AC=1；
故截面四边形EFPQ的周长为2×(2+1)=6.
故选D.
6.【答案】C
【解析】解：设圆台的两底面半径分别为r1，r2，
则侧面积为π(r1+r2)l=π(r1+r2)×5=45π，解得r1+r2=9；
又因为圆台的高为4，母线长为5，所以h2+(r1−r2)2=l2，
即16+(r1−r2)2=25，则(r1−r2)2=9，
所以2(r12+r22)=(r1−r2)2+(r1+r2)2=9+81=90，解得r12+r22=45，
所以圆台的上、下底面积的和为πr12+πr22=45π.
故选：C.
设圆台的两底面半径分别为r1，r2，根据侧面积公式以及圆台的高和母线长的关系，求解即可．
本题考查了圆台的结构特征与应用问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】本题主要考查旋转体的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．
将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．
解：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，
设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x+6，由相似得xx+6=13，即x=3，
∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为2π⋅13=2π3.
故选：C.
8.【答案】C
【解析】解：设a=OA,b=OB,a+b=OC，如图，
由题意，即在平行四边形OACB中，OA=1,∠OCA=π6，
延长OA至OD，使OA=AD，则CD=AB，
由正弦定理，O，A，C三点所在外接圆的直径2R=OAsin∠OCA=2，
所以R=1，设圆心为G，如图，
所以可知∠GOD=π3，又OG=1，OD=2，
所以由余弦定理可得DG= 12+22−2×1×2×csπ3= 3，
则由图可知CD≤DG+R=1+ 3.
故选：C.
根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求CD的最值，利用外接圆结合数形结合可求最值．
本题考查了平面向量加法的几何应用和正弦定理的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由复数z=7−i3+i=(7−i)(3−i)(3+i)(3−i)=20−10i10=2−i，
所以复数z在复平面内对应的点(2,−1)位于第四象限，|z|= 22+(−1)2= 5，z−=2+i，复数z的虚部为−1，
所以p1，p2，p4正确，p3不正确．
故选：ABD.
根据复数的运算法则，化简复数z=2−i，结合复数模，共轭复数定义，以及复数的概念和复数的几何意义，逐个判定，即可求解．
本题主要主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：若α∩β=b，P∈α，P∈β，由两个平面的公共点必在其交线上，可知P∈b，故A正确；
若a//b，P∈b，则P∉a，由直线a与点P确定唯一平面α，a与b确定唯一平面，
且该平面经过直线a与点P，所以该平面与α重合，则b⊂α，故B正确；
由|z1+z2|=|z1−z2|知，以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形为矩形，故C正确；
|z−1|=2的几何意义为z对应点与点(1,0)距离为2，轨迹为圆，如图，
而|z−1−3i|=|z−(1+3i)|，表示z对应点与点(1,3)距离，
由图象可知，|z−1−3i|的最小值为3−2=1，故D错误．
故选：ABC.
由空间几何中的基本事实判断A与B；由复数模的几何意义判断C与D.
本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：如图，该半正多面体是由棱长为2 2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的．
对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
所以该几何体的体积为：V=(2 2)3−8×13×12×( 2)3=40 23，故A正确；
对于B，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足12+14−24=2，故B正确；
对于C，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，
所以S=6× 34×22=6 3，故C错误；
对于D，根据该几何体的对称性可知，
该几何体的外接球即为底面棱长为2，侧棱长为2 2的正四棱柱的外接球，
所以该半正多面体外接球的表面积S=4πR2=4π×22=16π，故D正确．
故选：ABD.
利用柱体和锥体的体积公式可判断A选项；根据顶点，面数，棱数可判断B选项；由截面为正六边形可求面积判断C选项；根据外接球为正四棱柱可判断D选项．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题．
由已知求出方程x2+px+q=0(p,q为实数)的另一个根，再由根与系数的关系列式求解p与q的值，则答案可求．
【解答】
解：∵z=1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q为实数)的一个根，
由实系数一元二次方程虚根成对原理，可得1−i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q为实数)的另一个根，
则(1+i)+(1−i)=−p(1+i)(1−i)=q，得p=−2，q=2.
∴p+q=0.
故答案为：0.
13.【答案】
【解析】解：因为a2+b2−c2= 3ab，
由余弦定理可得csC== 32，
由C为三角形内角可得C=.
故答案为：.
由已知结合余弦定理即可直接求解csC，进而可求C.
此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，是一道基础题．
14.【答案】11 6m
【解析】解：由题意，设AB=xm，Rt△ABC中，BC=xtan30∘= 3xm，
同理可得BD=xtan45∘=xm，BE=xtan60∘= 33xm，
因为CD=DE=22m，所以在△BEC中，cs∠BEC=BE2+EC2−BC22BE⋅EC=13x2+442−3x22× 33x×44…①，
在△BDE中，cs∠BED=BE2+ED2−BD22BE⋅BD=13x2+222−x22× 33x×22…②，
由①②组成方程组，解得x=11 6，即AB=11 6m.
故答案为：11 6m.
设AB=x米，根据锐角三角函数的定义求出BC、BD、BE关于x的表达式，然后分别在△BEC、△BDE根据余弦定理列式，建立关于x的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查锐角三角函数的定义、余弦定理等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
15.【答案】证明见解析；
(−∞,−2− 3)∪(−2+ 3,1)∪(1,+∞).
【解析】证明：(1)因为AB=3e1−2e2,BD=BC+CD=12e1−8e2，
则4AB=BD，可知AB,BD共线，所以A，B，D三点共线；
解：(2)因为e1+λe2与λe1+e2夹角为锐角，
所以(e1+λe2)⋅(λe1+e2)=λe12+λe22+(λ2+1)e1⋅e2=2λ+(λ2+1)×1×1×12>0且λe1+e2与e1+λe2不平行，
若λe1+e2//e1+λe2，可得λ2=1，λ=±1，则λ≠±1，
所以λ