重庆市凤鸣山中学教育集团2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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命题人：______ 审题人：______
考试说明: 1.考试时间:120 分钟；2.试题总分 150 分；3.试卷页数 4 页
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 若 ， ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据 直接求解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选:D.
2. 已知向量 ，且 ，则 的值是（ ）
A. －6 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】直接由平面向量共线的坐标表示列方程求解即可.
【详解】 ，
由 ，得 ，解得 ，故选 B
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用
解答；（2）两向量垂直，利用 解答.
3. 已知 ， 分别为 的边 ， 的中点，若 ， ，则点 的坐标为（
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）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解.
【详解】因为 ， 分别为 AB，AC 的中点，所以 .
设 ，又 ，所以 ，即 解得
即点 的坐标为 .
故选：A.
4. 在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，则 等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】 ，解得 .
故选：B
5. 若 ， ， ，则向量 与 的夹角为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得.
【详解】由 ， ， ，
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则 ，
而 ，即得 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：A.
6. 如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 O 的圆心为正六边形的中心，若点 M 在正六边形的边上
运动，动点 A，B 在圆 O 上运动且关于圆心 O 对称，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得 ，再由 的范围，即可
得到结果.
【详解】由题意可得，
，
当 与正六边形的边垂直时， ，
当点 运动到正六边形的顶点时， ，
所以 ，则 ，即 .
故选：B
7. 在三角形 中，点 是在 边上且 边上存在点 满足 ，直线
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和直线 交于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】将 和 都用 和 表示出来，然后利用 列式计算即可.
【详解】由题意， ，
则 ，
同理可得： ，
因为直线 和直线 交于点 ,
所以存在 使 ，
即 ，两式作商得
解得 .
故选：C.
8. 在 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理的边角变换得到 ，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的
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和差公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
两式相减，得 ，
由正弦定理，得 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法不正确的有（ ）
A. 已知 ，若 与 垂直，则
B. 若 ， ，则
C. 若 为三个不共线向量，则
D. 若 ， ，若 为钝角，则实数 的范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量垂直坐标运算判断 A 选项，根据向量共线的性质判断 B 选项，根据数量积的定义及运算
律判断 C 选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断 D 选项.
【详解】A 选项： ， ，若 与 垂直，则 ，解得 ，A 选项正确；
B 选项：当 时， ， ，但 不一定成立，B 选项错误；
C 选项：根据向量的数量积的含义可知 是一个实数，故 是与 共线的向量，
同理 是与 共线的向量，但是 ， 不一定共线，
故 不一定成立，C 选项错误；
D 选项： ， ，若 为钝角，则 ，
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解得 且 ，D 选项错误；
故选：BCD.
10. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，且 ，则 为直角三角形
B. 若 ， ， ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C. 若 平面内有一点 满足： ，且 ，则 为等边三角形
D. 若 ，则 为钝角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】A：由已知确定 的角平分线与 BC 垂直，所以 ，所以 ，再利用向量夹角
的余弦得出 ，最后得出 是等边三角形，判断 A 错；由正弦函数值确定角的范围判断 B 正确；
由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断 C 正确；D 利用弦切互化，三角恒等变
换和两角和与差的正余弦展开式判断 D 错误.
【详解】对于选项 A，因为 ， ， 分别为单位向量，所以 的角平分
线与 BC 垂直，所以 ，所以 .又因为 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 为等边三角形，故
选项 A 错误；
对于选项 B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 ，因为 ， ，所以
，即 ，所以 ，故选项 B 正确；
对于 C，因为 ，故 ，即 ，又
，所以 ，故 ，由于
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，故 ，同理可得 ，结合 ，故
，可得 ，故 为等边三角形，C 正确；
对于 D.
，
而 ，所以 A，B，C 都为锐角，D 错误；
故选：BC.
11. 在 中，记角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ， ，则（ ）
A. B. 向量 ， 夹角的最小值为
C. 内角 A 的最大值为 D. 面积的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到 ，根据均值不等式得到 ，计算 ，
得到 AC 正确，B 错误，利用面积公式得到 ，得到答案.
【详解】 ， ，故 A 对；
， ，当且仅当 时取等， ， ，即 ，故 B
错，C 对；
，故 D 错.
故选：AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 为平面向量， ．若 在 方向上的投影向量为 ，则 __________.
【答案】
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【解析】
【分析】先设 的夹角为 ，由 在 方向上的投影向量为 ，求得 ，进而求得 的值，
则 可求得.
【详解】设 的夹角为 ，
因为 在 方向上的投影向量为 ， ，
所以 ，得 ．
从而 .
.
故答案为： .
13. 在 中， ， ，则 外接圆半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据面积公式和数量积的定义可求 ，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求
外接圆的半径.
【详解】因为 ，故 ,
故 ，故 为锐角，故 ，
故外接圆的半径为 ，
故答案为： .
14. 在 和 中， 是 的中点， ，若
，则 与 的夹角的余弦值等于__________.
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【答案】
【解析】
【分析】
【详解】由题意有： ,即
，而 ，据此可得：
，即 ，
设 与 的夹角为 ，则 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知 ， ，求：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及向量数量积的坐标运算即可直接求出答案；
（2）根据向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标表示即可求出答案.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以 .
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16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的周长.
【小问 1 详解】
解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
【小问 2 详解】
解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
17. 在锐角 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得 ，得角即可；
（2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可．
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【小问 1 详解】
根据题意得， ，
由正弦定理得， ，
即 ，
即 ，
因为 ，则 ，则 ，
则 ，则 ．
【小问 2 详解】
由正弦定理得， ，所以 ．
所以
，
因为 是锐角 ，则 ，即 ，解得 ．
则 ，故 ．
所以 ，则 的取值范围为 ．
18. 在锐角△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ， ．
（1）若 ，求△ABC 的面积；
（2）求 的值；
（3）求 的取值范围．
【答案】（1）
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设
BC 中点为 D，推导出 ，在三角形 AOD 中，利用余弦定理，正
弦定理和函数单调性求出 AD 的取值范围，从而求出 的取值范围；解法二：由余弦定
理和数量积运算法则求出 ，换元后利用三角恒等变换得到
，求出答案.
【小问 1 详解】
由余弦定理
结合 可知，△ABC 的面积
【小问 2 详解】
因为 ， ，所以 ，
由正弦定理 ，
所以 ，①
由于 ，
带入①式可知：
【小问 3 详解】
解法 1：
设 BC 中点为 D，则
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所以
如下图所示，
设△ABC 外接圆为圆 O，由于△ABC 为锐角三角形，故点 A 的运动轨迹为劣弧 （不含端点），由正
弦定理知圆 O 的半径 ，故
设 ，则 ，由余弦定理：
由于函数 在 时单调递减， ，
所以
解法 2：
由余弦定理 ②
由定义
所以
设 ，
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则
由正弦定理：
其中锐角 的终边经过点 ，由锐角三角形可知
注意到 ，
所以
所以 ，②式变形为 ，故
从而 ，
此时函数 单调递减，而 ，
所以
【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三
角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三
角函数恒等变换等知识，属于难题.
19. 设 是单位圆上不同的两个定点，点 为圆心，点 是单位圆上的动点，点 满足
（ 为锐角）线段 交 于点 （不包括 ），点 在射线 上运动且
在圆外，过 作圆的两条切线 ．
（1）求 的范围
（2）求 的最小值，
（3）若 ，求 的最小值.
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法 主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；
解法 将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可.
（2）解法 将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法 通
过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法 主要是根据题意设参数
，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值.
（3）解法 1 主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数 结合不等式求解；解法 通过坐
标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法 设参数 两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，
再由三角函数性质结合不等式求解即可.
【小问 1 详解】
，
，
为锐角， ，
解法一：
.
取 的中点为 ， ，
.
解法二：以 为原点，以 为 轴，建立直角坐标系，
，
，
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， ，
，
故小问 1 答案为： .
【小问 2 详解】
解法一：由题意知：
，
，
，
当且仅当 时，等号成立， 的最小值为 ．
解法二：由题意知：
以 为原点，以 为 轴，建立直角坐标系设点 ，则 ，
，
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，
当且仅当 时，等号成立， 的最小值为 ．
解法三：
设 ，
，
当且仅当 时，等号成立， 的最小值为 ．
故小问 答案为：
【小问 3 详解】
解法一：由题意知：
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令 ，则原式
当且仅当 即 ，等号成立， 的最小值为
解法二：由题意知：
以 为原点，以 为 轴，建立直角坐标系
三点共线
，
，
，
，
，
.
解法三：由题意知：
，
，
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，
下同解法二.
故小问 答案为： .
【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可.
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