福建省福州高级中学2024-2025学年高二（下）第三次段考数学试卷（含解析）

这是一份福建省福州高级中学2024-2025学年高二（下）第三次段考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有( )
A. 34种B. 43种C. 3×2×1种D. 4×3×2种
2.若C183n+6=C184n−2，则n=( )
A. 2B. 8C. 2或8D. 2或4
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=3xf′(2)+lnx+32x，则f′(2)=( )
A. −1B. 1C. −12D. 12
4.已知2×1010+a(0≤a0)的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中有理项共有______项.
13.某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援抗疫，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______(用分数表示)．
14.已知正实数a，b满足b a2−1− 4−b2=blnab2，则a+2b的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在数列{an}中，a1=13，1an+1=1an+2n+1．
(1)证明：数列{1an−2n}是等差数列．
(2)若bn=1an，记数列{bn}的前n项和Sn，求S10．
16.(本小题15分)
已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1,0)的距离小1．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设斜率为−1且不过点M(1,2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°，AB//CD，AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱PC上动点．
(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得直线AP与平面MBD所成角为30°？若存在，求出PMPC的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为120.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测.智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测．
(1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数ξ的分布列和数学期望；
(2)若智能自动检测的准确率为98%，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a≤1时，f(x)≤x⋅ex−1．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有34种，经检验只有A选项符合．
故选：A．
每人都有3种选法，结合分步计数原理即可求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由组合数的性质可得3n+6≤184n−2≤18，解得n≤4，
又因为C183n+6=C184n−2，所以3n+6=4n−2或3n+6+4n−2=18，
解得n=8 (舍去)或n=2．
故选：A．
利用组合数的性质求出n的值，即可利用公式计算得出答案．
本题考查组合数的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=3xf′(2)+lnx+32x，
所以f′(x)=3f′(2)+1x+32，
所以f′(2)=3f′(2)+12+32，解得f′(2)=−1．
故选：A．
求出函数的导函数，再令x=2计算可得．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：2×1010+a=2×(1−11)10+a=2[(−11)10+(−11)9+…+(−11)]+a+2，
因为2[(−11)10+(−11)9+…+(−11)]为11的整数倍，
若2×1010+a(0≤a1，由g′(x)0，
函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，又 a2−1−lna= (2b)2−1−ln2b，即f(a)=f(2b)．
则a=2b，所以ab=2，
所以a+2b≥2 2ab=4．
当且仅当a=2，b=1时，等号成立，得最小值为4．
故答案为：4．
根据导数判断单调性，并结合基本不等式求最值即可．
本题考查导数单调性的应用，基本不等式的解法，综合性强，属于难题．
15.【答案】证明过程见解析；
2101．
【解析】(1)证明：在数列{an}中，由1an+1=1an+2n+1，得1an+1−2n+1=1an−2n+1，
即1an+1−2n+1−(1an−2n)=1，
已知a1=13，则1a1−2=1，
∴数列{1an−2n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
(2)解：由(1)得1an−2n=1+(n−1)×1=n，则an=12n+n，
∴bn=1an=2n+n，
则Sn=b1+b2+b3+⋯+bn=(2+1)+(22+2)+(23+3)+⋯+(2n+n)
=(2+22+23+⋯+2n)+(1+2+3+⋯+n)=2(1−2n)1−2+(1+n)n2=2n+1+12n2+12n−2，
可得S10=211+12×102+12×10−2=2101．
(1)把已知等式变形，即可证明数列{1an−2n}是等差数列；
(2)由(1)求出数列{an}的通项公式，代入bn=1an，再由数列的分组求和得答案．
本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，训练了数列的分组求和，是中档题．
16.【答案】解法一：(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，
其焦点为F(1,0)，准线为x=−1，
设其方程为y2=2px(p>0)，则p2=1，解得p=2，
所以动点P的轨迹C的方程是y2=4x(x>0)．
(2)设直线AB：y=−x+b(b≠3)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由得y=−y24+b，即y2+4y−4b=0，Δ=16+16b>0，所以b>−1，y1+y2=−4，
因为x1=y124，x2=y224，
所以k1+k2=y2−2y224−1+y1−2y124−1=4(y2−2)y22−4+4(y1−2)y12−4=4y2+2+4y1+2=4(y1+2+y2+2)(y2+2)(y1+2)=0．
因此k1+k2=0．
解法二：(1)同解法一．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)(y1≠y2)是直线l与C的交点，
所以x1=y124，x2=y224，
所以kAB=y2−y1y224−y124=4y1+y2，
又直线l的斜率为−1，所以4y1+y2=−1，即y1+y2=−4，
所以k1+k2=y2−2y224−1+y1−2y124−1=4(y2−2)y22−4+4(y1−2)y12−4=4y2+2+4y1+2=4(y1+2+y2+2)(y2+2)(y1+2)=0．
因此k1+k2=0．
【解析】(1)由题意转化为距离相等，再由抛物线的定义可知求出轨迹方程；
(2)法i设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出直线MA，MB的斜率，求出斜率之和的值．
法i，A，B代入抛物线，作差由AB的斜率的值求出横坐标之和，求出MA，MB的斜率之和的表达式，横坐标之和代入可得为0．
考查圆锥曲线的轨迹即直线与抛物线的综合，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：因为AB/​/CD，AB=2CD=2BC=4，所以CD=BC=2，因为∠ABC=90°，所以∠BCD=90°,BD=2 2，
因为∠ABD=45°，AB=4，所以AD= AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD=2 2，
所以AD2+BD2=AB2，∠ADB=90°，AD⊥BD，
取AD中点O，连结PO，因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，
又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO⊂面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD，
又AD⊥BD，PO∩AD=O，PO，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD，
又BD⊂平面BDM，所以平面MBD⊥平面PAD．
(2)取AB中点N，连结ON，则ON/​/BD，AD⊥ON，
以ON，OD，OP为正交基底建立如图所示坐标系，

A(0,− 2,0),D(0, 2,0),B(2 2, 2,0),C( 2,2 2,0),P(0,0, 6)，
设PM=λPC，0≤λ≤1，则DM=DP+PM=DP+λPC=(0,− 2, 6)+λ( 2,2 2,− 6)=( 2λ,2 2λ− 2, 6− 6λ)，
又DB=(2 2,0,0)，设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
则DM⋅n=0DB⋅n=0，即 2λx+ 2(2λ−1)y+ 6(1−λ)z=02 2x=0，若z=2λ−1，
取n=(0, 3(λ−1),2λ−1),AP=(0, 2, 6)，
由直线AP与平面MBD所成角为30°，得sin30°=|cs〈AP,n〉|=|AP⋅n||AP|⋅|n|= 6|3λ−2|2 2⋅ 7λ2−10λ+4，
则10λ2−13λ+4=0 解得λ=12或λ=45，
当PMPC=12或45时，直线AP与平面BDM所成角为30°．
【解析】(1)由题设证得AD⊥BD，取AD的中点O，连结PO，应用面面垂直的性质证PO⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论；
(2)取AB的中点N，连结ON，则ON/​/BD，构建空间直角坐标系，设PM=λPC，应用向量法，结合线面角大小列方程求λ，即可得结果．
本题主要考查直线和平面所成的角，属于中档题．
18.【答案】233250．
【解析】解：(1)ξ可能取的值为0，1，2，
且P(ξ=0)=C20⋅C53C73=27，P(ξ=1)=C21⋅C52C73=47，P(ξ=2)=C22⋅C51C73=17，
所以ξ的分布列为：
则E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67；
(2)记A=“智能自动检测为合格品”，B=“产品为合格品”，
则由题意知P(A|B)=98100，P(B)=1920，P(A|B−)=1−98100=2100，
所以由全概率公式知P(A)=P(AB)+P(AB−)=P(A|B)P(B)+P(A|B−)P(B−)
=98100×1920+2100×120=233250，
所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为233250．
(1)由题可得ξ可能取的值为0，1，2，然后利用超几何分布求出每个取值对应的概率即可得解；
(2)记A=“智能自动检测为合格品”，B=“产品为合格品”，则由题意知P(A|B)=98100，P(A|B−)=1−98100=2100，P(B)=1920，然后由全概率公式即可得解．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望及全概率公式，属于中档题．
19.【答案】当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a