2025年高考数学考前冲刺（3）（原卷及解析版）

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第三辑
导数（选填题）………………………………………………………………………01
立体几何（选填题）…………………………………………………………………07
直线与圆（选填题）………………………………………………………………… 16
圆锥曲线（选填题）…………………………………………………………………22
数列（选填题）………………………………………………………………………36
导数（选填题）
近三年新高考数学导数选填题考查情况总结
1.考点：涵盖利用导数求单调区间、极值点（2024 年新课标 Ⅰ 卷）；根据切线求参数（2024 年新课标 Ⅰ 卷）；函数对称性、单调性与极值最值综合（2024 年新课标 Ⅱ 卷）；函数奇偶性判断（2023 年新课标 Ⅰ 卷）；由单调性求参数（2023 年新课标 Ⅱ 卷）；根据极值求参数范围（2023 年新课标 Ⅱ 卷）；用导数比较大小（2022 年新课标 Ⅰ 卷）；求切线方程（2022 年新课标 Ⅰ 卷、Ⅱ 卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值 5 - 6 分，注重考查导数工具在研究函数性质（单调性、极值、最值等）及切线问题中的应用，对运算和逻辑推理能力要求较高。
题型与分值：预计仍为选择题或填空题，分值 5 - 6 分。
2. 考查方向：持续考查导数与函数性质的结合，如根据函数单调性、极值情况求参数；可能增加与函数图象（如切线、零点分布）、不等式的综合；也可能出现新颖的函数形式，考查对导数知识的灵活运用和创新思维。
八大常用函数的求导公式
（为常数）
；例：，，，
，，
，，
导数的四则运算
和的导数：
差的导数：
积的导数：（前导后不导前不导后导）
商的导数：，
复合函数的求导公式
函数中，设（内函数），则（外函数）
导数的几何意义
导数的几何意义
导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：
用导数判断原函数的单调性
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
常见的指对放缩
，，，
常见的三角函数放缩
其他放缩
，，
，，
，
，
常见函数的泰勒展开式
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
典例6
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期试题）
已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ．
【名校预测·第三题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期试题）
已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是 ．
【名校预测·第四题】（2025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月试题）
当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，B．函数有3个零点
C．的解集为D．，都有
【名师押题·第一题】已知函数，若与曲线相切，则实数 ．
【名师押题·第二题】已知函数是上的增函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第三题】已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 .
【名师押题·第四题】（多选）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
【名师押题·第五题】（多选）函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的极小值为0
B．若有3个零点，，，则
C．若，则为奇函数
D．当时，在区间上单调递增
立体几何（选填题）
近三年新高考数学立体几何选填题考查情况总结​
考点：涵盖几何体体积（圆柱、圆锥、棱台、棱锥等，如2024年新课标Ⅰ卷圆锥体积、2023年新课标Ⅰ卷正四棱台体积）、表面积（圆锥侧面积等，如2023年新课标Ⅱ卷）、空间角（线面角，如2024年新课标Ⅱ卷）、球的表面积（2022年新课标Ⅱ卷）及几何体性质综合（如2022年新课标Ⅰ卷正四棱锥体积范围）。​
题型：以选择题为主，分值5分，侧重考查空间想象能力、公式运用及计算能力。
2025 年新高考立体几何选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。​
考查方向：延续对几何体体积、表面积的考查，可能涉及空间角（如线面角、二面角）、球与几何体的切接问题，或出现新颖几何体，强化空间想象与运算求解能力的考查。
平面初等几何基础
三角形的面积公式：
正方形的面积公式：
长方形的面积公式：
平行四边形的面积公式：
菱形的面积公式：（，为菱形的对角线）
梯形的面积公式：（为上底，为下底，为高）
圆的周长和面积公式：，
立体几何基础公式
所有椎体体积公式：
所有柱体体积公式：
球体体积公式：
球体表面积公式：
圆柱：
圆锥：
长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
已知长宽高求体对角线：
已知三条面对角线求体对角线：
球体问题
球体体积公式：，球体表面积公式：
正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心体心，直径体对角线
已知长宽高，，求体对角线，公式为：
，
直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
，其中为直棱柱的高，为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
墙角问题可转化为类型Ⅰ
侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ
异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
线面角
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟试题）
底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟试卷）
一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第三题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
已知两个正四棱锥组合成的简单几何体中，顶点，分别位于平面的两侧．其中正方形的边长为2，两个正四棱锥的侧棱长均为3．则四棱锥的外接球的表面积为 ．
【名校预测·第四题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期试题）
（多选）已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．面积的最小值为
C．四面体体积的最大值为1
D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为O，则为定值2
D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为
【名师押题·第一题】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【名师押题·第二题】如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ）

A．B．C．D．
【名师押题·第三题】已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 .
【名师押题·第四题】（多选）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面与平面所成角的余弦值为
C．若，则点轨迹的长度为
D．若点在直线上，则的最小值为
【名师押题·第五题】（多选）如图，棱长为2的正方体中，点E，F分别在棱上，且，，其中，点是平面内的一个动点（异于点），且，则（ ）
A．
B．直线与平面所成的角的余弦值为
C．当变化时，平面截正方体所得的截面周长为定值
D．点为中点时，三棱锥的外接球的表面积为
直线与圆（选填题）
近三年新高考数学直线与圆选填题考查情况总结​
考点：涵盖切线问题（切线长、方程，如2023年新课标Ⅰ卷）、弦长与面积（利用圆的性质求参数，如2023年新课标Ⅱ卷）、圆与圆位置关系（公切线方程，如2022年新课标Ⅰ卷）、点线对称及位置关系求参数（如2022年新课标Ⅱ卷）。​
题型：以填空题为主，分值5分，侧重考查直线与圆的几何性质、方程求解及位置关系的综合运用，注重计算与推理能力。
2025年新高考直线与圆选填题高考预测​
题型与分值：预计为填空题，分值5分。​
考查方向：延续对切线（方程、性质）、弦长面积的考查，可能涉及点线对称问题，或与其他知识综合（如几何最值），强化几何直观与运算求解能力，注重对直线与圆位置关系的深度理解与应用。
1.两点间的距离公式
，，
2.中点坐标公式
，，为的中点，则：
3.三角形重心坐标公式
4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
直线的斜率与倾斜角的关系：
5.两点间的斜率公式
，，
6.直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
7.直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
8.直线的一般式方程
9.两条直线的位置关系
平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
10.点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
11.两条平行线间的距离公式
，，
12.圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
13.圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
14.表示圆的充要条件：
15.点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
16.直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
17.圆上一点的切线方程
18.圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
19.弦长公式
设，，
则
或：
20.圆上一点到圆外一点的距离的最值
21.圆上一点到圆上一点的距离的最值
22.圆上一点到直线距离的最值
23.过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
已知，，若直线上存在点P，使得，则的取值范围为 .
【名校预测·第二题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
已知直线：与圆：交于，两点，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第五题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下数学试卷）
（多选）已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ）
A．圆的半径B．直线与圆相交
C．直线不可能将圆的周长平分D．直线被圆截得的最短弦长为
【名师押题·第一题】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【名师押题·第二题】若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
【名师押题·第三题】已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第四题】已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【名师押题·第五题】已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）．
A．B．C．D．
圆锥曲线（选填题）
近三年新高考数学圆锥曲线选填题考查情况总结​
考点：涵盖求圆锥曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线）、离心率计算、轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系（弦长、面积、交点性质），涉及定义、几何性质及代数运算（如2024年新课标Ⅰ卷求轨迹方程、Ⅱ卷直线与抛物线交点；2023年新课标Ⅰ卷椭圆离心率、Ⅱ卷椭圆中直线与椭圆关系；2022年新课标Ⅰ卷抛物线性质、Ⅱ卷椭圆弦长）。​
题型：以选择题为主，分值5-6分，侧重考查圆锥曲线基本性质与直线和曲线综合问题的分析能力。
2025年新高考圆锥曲线选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。​
考查方向：延续离心率、轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的考查，可能强化双曲线渐近线、抛物线焦点弦性质，或与几何最值、参数范围结合，注重定义和性质的综合运用。
点关于线对称的一般性结论
点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为
直径端点圆的方程
若圆的直径端点，则圆的方程为
解析几何中的切线方程
①过圆上任意一点的切线方程为
②过椭圆上任意一点的切线方程为
③过双曲线上任意一点的切线方程为
④设 QUOTE Px0,y0 Px0,y0 为抛物 线 QUOTE y2=2px y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为 QUOTE yy0=px+x0 yy0=px+x0
解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆的切点弦方程为
②椭圆的切点弦方程为
③双曲线的切点弦方程为
④抛物线的切点弦方程为
⑤二次曲线的切点弦方程为
相切的条件
①椭圆与直线相切的条件是
②双曲线与直线相切的条件是
斜率关系
若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率)
常见不等式
已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则()
椭球体积
椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为
纵坐标之和
y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为
渐近线围成的四边形面积
过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值
椭圆和双曲线的结论汇总
补充结论1
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为的直线过定点，双曲线方程为，过点与双曲线相切时的斜率为.
（1）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
（2）当时，直线与双曲线只有一个交点；
（3）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
（4）当时，直线与双曲线只有一个交点；
（5）当时，直线与双曲线没有交点.
2．如图，是双曲线的焦点，过点作垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，则.
3．点是双曲线上任意一点，则点到双曲线的渐近线的距离之积为定值.
4．点是双曲线上任意一点，过点作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于两点，为原点，则平行四边形的面积为定值.
抛物线的结论
如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为.
1．
2．焦半径：，，.
3．焦点弦：.
4．的数量关系：，.
5．三角形的面积.
6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切.
7．直线的斜率之和为零（），即.
8．点三点共线；点三点共线.
9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点.
补充结论2
1.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.则
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;
（3）的最小值是.
2.与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。
3.与有相同焦点的双曲线方程为
4.与有相同焦点的椭圆方程为：

5.与有相同焦点的双曲线方程为：
6.与有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在轴上时：
②焦点在轴上时：
7.与有相同的渐近线方程为：；
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
典例4
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
典例5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
典例6
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025数学试题）
设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ．
【名校预测·第四题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，是上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若过点，则为钝角
B．若，则的斜率为
C．若，则点的纵坐标为1时，最小
D．若四边形为平行四边形，则过定点
【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在的右支上，的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若是面积为2的正三角形，则
C．在中，恒成立
D．若，则内切圆半径的取值范围为
【名师押题·第一题】已知椭圆的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且的面积等于，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第二题】已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则 ．（S表示面积）
【名师押题·第三题】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ．
【名师押题·第四题】（多选）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（ ）

A．当时，取到最大值B．的取值范围是
C．直线是曲线的一条切线D．若是曲线的渐近线，则
【名师押题·第五题】（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，且与交于另一点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点的坐标为，则的离心率的取值范围为
B．若，，则
C．若，，则的最小值为4
D．若，，则恒为定值
数列（选填题）
近三年新高考数学数列选填题考查情况总结​
考点：聚焦等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式，如2024年新课标Ⅱ卷12题考查等差数列通项与求和；2023年新课标Ⅱ卷8题涉及等比数列前n项和计算。此外，还考查等差数列的条件判断（2023年新课标Ⅰ卷7题）及性质应用（2022年新课标Ⅱ卷3题结合斜率）。​
题型：以选择题为主，分值5分，侧重对数列基本量计算、性质理解与推理能力的考查。
2025年新高考数列选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5分。​
考查方向：延续对等差、等比数列通项与求和的考查，可能强化性质应用，或与函数、不等式等简单结合，注重基本运算与推理能力，如通过通项公式求特定项，或利用求和公式判断数列性质。
等差数列通项公式： 或
等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
若，为等差数列，则，仍为等差数列
等差数列前n项和公式：或
等差数列的前项和中，，（为奇数）
等比数列通项公式：
等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
若，为等比数列，则，仍为等比数列
等比数列前项和公式：
已知与的关系
分组求和
若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和
裂项相消求和

典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研数学试卷）
设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（ ）
A．14B．15C．16D．15或16
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ）
A．511B．61C．41D．9
【名校预测·第三题】（福建省福州第一中学2024-2025学年高三数学试题）
设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【名校预测·第四题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．B．C．D．
【名校预测·第五题】（广东省华南师范大学附属中学2024-2025学年高三数学试题）
（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．中最小项为
【名师押题·第一题】已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．5D．15
【名师押题·第二题】已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．27D．81
【名师押题·第三题】已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【名师押题·第四题】已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第五题】已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
10
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点
B．当时，
C．当时，
D．当时，
利用导数求函数的单调区间（不含参）；求已知函数的极值点
2024年新高考I卷
13
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；已知切线（斜率）求参数
2024年新高考II卷
11
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
函数对称性的应用；函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究函数的零点；判断零点所在的区间
2023年新高考I卷
11
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．
B．
C．是偶函数D．为的极小值点
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析
2023年新高考II卷
6
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．e
C．D．
由函数在区间上的单调性求参数
2023年新高考II卷
11
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B．
C．D．
根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数
2022年新高考I卷
7
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
B．
C．D．
用导数判断或证明已知函数的单调性；比较指数幂的大小；比较对数式的大小
2022年新高考I卷
10
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
求过一点的切线方程；求某点处的导数值
2022年新高考I卷
15
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（ ）
有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求已知函数的极值点；利用导数研究函数的零点
2022年新高考II卷
14
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
求过一点的切线方程
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
5
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．
C．D．
圆锥表面积的有关计算、
锥体体积的有关计算、
圆柱表面积的有关计算
2024年新高考II卷
7
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
求线面角
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
2023年新高考I卷
12
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
正棱锥及基有关计算
多面体与球体内切外接问题
2023年新高考I卷
14
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，则该棱台的体积为 ．
台体体积的有关计算
2023年新高考II卷
9
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．的面积为
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长度或距离
圆锥表面积的有关计算
二面角的概念及辨析
2023年新高考II卷
14
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
正棱台及基有关计算
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
2022年新高考I卷
8
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
B．
C．D．
由导数求函数的最值(不含参)
多面体与球体内切外接问题
锥体体积的有关计算
球的体积的有关计算
2022年新高考I卷
9
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面ABCD所成的角为
求异面直线所成的角
求线面角
2022年新高考II卷
7
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
球的表面积的有关计算多面体与球体内切外接问题
2022年新高考II卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
锥体体积的有关计算
证明线面垂直
年份
题号
分值
题干
考点
2023年新高考I卷
6
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．
C．D．
切线长；给值求值型问题；余弦定理解三角形；已知点到直线距离求参数
2023年新高考II卷
15
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
圆的弦长与中点弦
2022年新高考I卷
14
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
判断圆与圆的位置关系；圆的公切线方程
2022年新高考II卷
15
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
由直线与圆的位置关系求参数；求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题
不存在
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
11
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点在C上时，
由方程研究曲线的性质
求平面轨迹方程
2024年新高考I卷
12
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
求双曲线的离心率
2024年新高考II卷
5
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
（）
B．（）
C．（）
D．（）
求平面轨迹方程
轨迹问题--椭圆
2024年新高考II卷
10
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
直线与抛物线交点相关问题
切线长
根据抛物线方程求焦点或准线
2023年新高考I卷
5
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．
C．D．
由椭圆的离心率求参数
2023年新高考I卷
16
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
求双曲线的离心率
2023年新高考II卷
5
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．
C．D．
根据直线与椭圆的位置关系求参数
椭圆中三角形的面积
2023年新高考II卷
10
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN为直径的圆与l相切
D．为等腰三角形
求直线与抛物线的交点坐标
与抛物线焦点弦有关的几何性质
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
2022年新高考I卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为
B．直线AB与C相切
C．
D．
判断直线与抛物线的位置关系
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
根据抛物线方程求焦点或准线
2022年新高考I卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
椭圆中焦点三角形的周长问题
根据离心率求椭圆的标准方程
2022年新高考II卷
10
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为
B．
C．
D．
抛物线定义的理解
求直线与抛物线的交点坐标
数量积的坐标表示
已知两点求斜率
2022年新高考II卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
根据弦长求参数
由弦中点求弦方程或斜率
椭圆
双曲线
标准方程
焦点
焦点
焦半径
为离心率，为点的横坐标.
为离心率，为点的横坐标.
焦半径范围
为椭圆上一点，为焦点.
为双曲线上一点，为焦点.
通径
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为.
（即）
如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则.
焦点弦
倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点.
焦点弦长.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点.
焦点弦长.
与数量关系
直线过焦点与椭圆相交于两点，则.
直线过焦点与双曲线相交于两点，则.
已知点是椭圆上一点，坐标原点，
则.
已知点是双曲线上一点，坐标原点，
则.
焦三角形
如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，，
，则
（1）；
（2）离心率.
如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，，
，则
（1）；
（2）离心率.
垂径定理
如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则
.
如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则
.
（注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立）
周角定理
如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点，
则.
推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，
如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点，
则.
推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，
.
直线过焦点与椭圆相交于两点，点，
则（即）.
直线过焦点与双曲线相交于两点，点，
则（即）.
切线方程
已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.
已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为.
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考II卷
12
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
2023年新高考I卷
7
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和
2023年新高考II卷
8
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85
C． D．
等比数列前n项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用
2022年新高考II卷
3
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8
C．0.85D．0.9
等差数列通项公式的基本量计算；已知斜率求参数