陕西省汉中市勉县第二中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省汉中市勉县第二中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了 已知等比数列中，，，则公比等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；满分：150分
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，请将答案写在答题卡上规定位置.
一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 关于相关系数r，下列说法中正确的有：
①若，则增大时，也相应增大；
②若，则增大时，也相应增大；
③若，或，则与的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上．（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
3. 已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（ ）
A. 31B. 63C. 127D. 255
4. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列中，，，则公比（ ）
A. －2B. 2
C 3D. 2或－2
6. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由计算值推断，得到的正确结论是（ ）
A. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
C. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
D. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关
7. 设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（ ）
A. 139B. 153
C. 144D. 178
8. 已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 数列单调递减B. 数列单调递增C. 有最大值D. 有最小值
10. 设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 在独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到,表示的意义是（ ）
A. 有99%的把握认为变量与变量没有关系
B. 有1%的把握认为变量与变量有关系
C. 有99%的把握认为变量与变量有关系
D. 有1%的把握认为变量与变量没有关系
12. 若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是
A. B.
C. 数列是等比数列D. 数列是等比数列
三､填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 若数列的前项和，则______________．
14. 如表提供的和是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为则__________.
15. 若，则数列的最大项是第______项．
16. 已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
四､解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.
（1）求数列{an}通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
18. 针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲､乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占.
（1）根据题中数据，完成列联表；
（2）根据（1）中的列联表，判断能否有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
参考公式：，其中.
参考数据：
19. 已知是等差数列，其前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
21. 已知等差数列前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列前项和
22. 已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求前项和
汉中市铺镇中学2024-2025学年第二学期第一次月考
高二年级数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，请将答案写在答题卡上规定位置.
一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用，直接计算公差即可.
【详解】等差数列中，，设公差为d，则，即.
故选：C.
2. 关于相关系数r，下列说法中正确的有：
①若，则增大时，也相应增大；
②若，则增大时，也相应增大；
③若，或，则与的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上．（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：
当时,两变量是正相关,随的增大而增大,当时,正相关最强,此时和完全对应,具有函数关系,其散点图上各点均在一条直线上;
当时,两变量是负相关,随的增大而减小,当时,负相关最强,此时和完全对应,具有函数关系,其散点图上各点均在一条直线上.
所以选择①③.
考点：相关性强弱的判断.
3. 已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（ ）
A. 31B. 63C. 127D. 255
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出数列的首项和公比后再求和即可.
【详解】由题意，设数列的公比为，则，
所以.
故选：C
4. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设回归直线方程为，根据回归直线必过样本中心，求.
【详解】由回归直线的斜率的估计值为1.23，
设回归直线方程为，代入 ，
，解得： ，
回归直线方程是.
故选：C
【点睛】本题考查回归直线方程，意在考查基本公式和计算，属于简单题型.
5. 已知等比数列中，，，则公比（ ）
A －2B. 2
C. 3D. 2或－2
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，即可求出公比.
【详解】设数列的公比为，因为为等比数列，
所以，所以，
所以，解得．
故选：B．
6. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由计算值推断，得到的正确结论是（ ）
A. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
C. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
D. 有以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格和公式计算的值，即可判断.
【详解】由题意，，
因此，有以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”.
故选：A.
7. 设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（ ）
A. 139B. 153
C. 144D. 178
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得，进而可得前n项和，所求可化简为，代入公式，即可得答案.
【详解】∵an＝2n－7，∴，
∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.
∴前n项和.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝.
故选：B
8. 已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
【详解】∵，
∴，
故选：A
二､多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 数列单调递减B. 数列单调递增C. 有最大值D. 有最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式的单调性，以及前项和的单调性，结合已知条件，即可判断和选择.
【详解】因为，根据题意，，是关于的减函数，故数列单调递减，A正确，B错误；
又，又，故一定有最大值，没有最小值，故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式
【详解】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
，
故选：BC
11. 在独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到,表示的意义是（ ）
A. 有99%的把握认为变量与变量没有关系
B. 有1%的把握认为变量与变量有关系
C. 有99%的把握认为变量与变量有关系
D. 有1%的把握认为变量与变量没有关系
【答案】CD
【解析】
【分析】由独立性检验中观测值和临界值的意义，即可得出正确的答案.
【详解】在独立性检验中，由.
表示的意义是：有1%的把握认为变量与变量没有关系，所以D正确.
即有99%的把握认为变量与变量有关系，所以C正确.
故选：CD
【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
12. 若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是
A. B.
C. 数列是等比数列D. 数列是等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为为数列的前项和，且，
所以，因此，
当时，，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因此，故A正确；
又，所以，故B错误；
因为，所以数列不是等比数列，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
三､填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 若数列的前项和，则______________．
【答案】17
【解析】
【分析】由可求得结果.
【详解】解：因为数列的前项和，
所以，
故答案为：17
【点睛】此题考查数列前项和与通项的关系，属于基础题.
14. 如表提供的和是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为则__________.
【答案】5
【解析】
【分析】通过表格计算出样本中心点，代入回归方程即可求解.
【详解】由表可知，，，
所以样本中心点为，
代入，得，解得.
故答案为：5.
15. 若，则数列的最大项是第______项．
【答案】7
【解析】
【分析】根据二次函数性质和n为正整数求解.
【详解】，其对应的二次函数为，
函数开口向下，对称轴为，
因为为正整数，所以当n为距离的最近整数时，取得最大值，所以．
故答案为：7.
16. 已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先求得数列的通项公式，然后裂项求和计算其前20项和即可．
【详解】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．
故答案为：．
四､解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）an＝2n-12；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的性质得到，然后根据等差数列的通项公式求出和的值即可.
（2）根据（1）的条件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根据等比数列的通项公式求出的值即可.
【小问1详解】
设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以，所以， 解得，
所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.
【小问2详解】
设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
因此.
18. 针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲､乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占.
（1）根据题中数据，完成列联表；
（2）根据（1）中的列联表，判断能否有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）列联表答案见解析.（2）有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
【解析】
【分析】（1）根据题目所给条件，计算并填写列联表.
（2）计算出的值，由此判断有的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
【详解】（1）由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿者的人数为，
则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为；
注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为.
（2），
因为，所以有把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.
【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，属于基础题.
19. 已知是等差数列，其前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析】
（1）由已知条件可建立关于和方程组，即可求出通项公式；
（2）可知是首项为2，公比为2的等比数列，由公式即可求出.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
；
（2），，
是首项为2，公比为2的等比数列，
.
20. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
【答案】(1)(2)(3)8.05
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意描点作出散点图；
（2）由表中数据求得b=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，从而解得；
（3）将x=10代入回归直线方程，y=0.7×6+1.05=5.25（小时）．
试题解析：
解：（1）散点图如图.
（2）由表中数据得: =52.5,
=3.5, =3.5, =54,
∴=0.7,∴=1.05,
∴=0.7x+1.05,
回归直线如图所示
（3）将x＝10代入回归直线方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
21. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）或；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；
（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，
所以或；
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
22. 已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求的前项和
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题干条件构造出，结合等比数列定义证明结论；
（2）先求出的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.
【小问1详解】
因为，
所以，又，
所以，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，，∴，
∵，∴，
∴
令
两式相减，
所以
所以，
又，
∴
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
3
5
7
9
2.5
4
6.5
产生抗体
未产生抗体
合计
甲
乙
合计
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
3
5
7
9
2.5
4
6.5
产生抗体
未产生抗体
合计
甲
乙
合计
产生抗体
未产生抗体
合计
甲
48
2
50
乙
42
8
50
合计
90
10
100
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5