河北省保定市部分高中2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份河北省保定市部分高中2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2. 已知是实数，是纯虚数，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知：，
为纯虚数，则：，据此可知.
本题选择D选项.
3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. 2πB. 3πC. 2 D.
【答案】B
【解析】设圆锥的轴截面是边长为（）的等边三角形，则，则，
∴圆锥底面半径，母线长，
∴.
故选：B
4. 如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D在线段上，点在线段上，则周长的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】如图，将三棱锥的侧面展开，
则周长的最小值与展开图中的线段相等.
在中，，
在中，根据余弦定理可得：
，
所以，
即周长的最小值为.
故选：C.
5. 如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. (6.5)D.
【答案】D
【解析】由题图可知，，
则，
解得（舍去），
所以，，则向量在向量上的投影向量为，
所以其坐标为．
故选：D
6. 设平面向量，，且，则=（ ）
A. 1B. 14C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以又，
则
所以，
则
，
故选：
7. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.
故选：A.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量 则（ ）
A.
B. 与向量共线的单位向量是
C.
D. 向量在向量上的投影向量是
【答案】CD
【解析】因为，，
所以，则，故A错误；
又，则与向量共线的单位向量为，
即或，故B错误；
因为，所以，故C正确；
因为，，
所以向量在向量上投影向量是，故D正确.
故选：CD
10. 设，为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】设，，
对于选项A，因为，
所以，
且，所以，故A正确；
对于选项B，因为，，，
则，，
所以，故B正确；
对于选项C，若，例如，，满足，
但，，即，故C错误；
对于选项D，因为，
所以，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的部分图象如图所示．则（ ）
A. 的图象关于中心对称
B. 在区间上单调递增
C. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D. 将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】由图象可知，，解得，
又，所以，即，
结合，可知，所以函数的表达式为，
对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确；
对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；
对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间是___________.
【答案】
【解析】 的定义域为，解得，
或,求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间,
, 可知单调递减区间为,
综上可得, 函数单调递增区间为 .
令 , 由 , 得或,
函数 的定义域为 ,
当 时,内层函数 为增函数,而外层函数为减函数,
函数 的单调递减区间是.故答案为:.
13. 在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由可得
因为，所以要使三角形有两解，所以且
所以，即，解得，故答案为：
14. 设点在以为圆心，半径为1的圆弧BC上运动(包含B，C两个端点)， 且，则的最大值为________.
【答案】或
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
则，设，
所以，因此有，
因为，，
所以有，
于是有，其中，
因为，即，当时取得最大值，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角、、的对边分别为、、.已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
（1）证明：因为，则，
即，
由正弦定理可得
，
因此，.
（2）解：因为，由正弦定理可得，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，可得，
即，所以，，则，，
所以，，
则为锐角，且，
因此，.
16. 如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：

（1）直线和同一平面上；
（2）直线、和交于一点．
（1）证明：如图，连结.

∵点分别是的中点，∴.
∵四边形为平行四边形，∴，
∴，
∴四点共面，即和共面．
（2）证明：正方体中，
∵点分别是的中点，∴且
∵四边形为平行四边形，∴，且
∴∥且
∴与相交，设交点为P，
∵，平面，∴平面；
又∵，平面，∴平面，
∵平面平面，∴，
∴三线交于点P.
17. 已知定义在上的奇函数．在时，．
（1）试求的表达式；
（2）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）是定义在上的奇函数，，
因为在时，，
设，则，
则，
故 .
（2）由题意，可化为
化简可得，
令，，
因为在定义域上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
，故．
18. 已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.
解：（1）向量，，
.
（2），
，
，，，
所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知，函数，
令，则，
，
其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
当，即时，最小值为，解得（舍去）；
当，即时，最小值为，
解得或（舍去）；
当，即时，最小值为.
综上可知，.
19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
（1）解：因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以,，
所以.
（2）证明：由（1）知，
所以
，
即.
（3）解：因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.