陕西省榆林市2023−2024学年高二下学期过程性评价质量检测 数学试题（含解析）

这是一份陕西省榆林市2023−2024学年高二下学期过程性评价质量检测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知一组数据5，7，9，4，8，9，3，3，则（ ）
A．这组数据的80%分位数为8B．这组数据的中位数为6
C．这组数据的极差为5D．这组数据的平均数为7
4．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．设，是非零向量，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（ ）
A．7B．8C．10D．12
7．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为8
10．已知函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．
B．函数的一条对称轴为
C．若函数在区间上单调递增，则可取的一个值为
D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称
11．如图，正方形的边长为2，分别取边，的中点，，连接，，，以，，，为折痕，折叠这个正方形，使，，重合于一点，得到一个三棱锥，则（ ）
A．平面平面B．二面角的余弦值为
C．三棱锥的体积为D．三棱锥内切球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在各项均为正数的等比数列中，，则 ．
13．已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ．
14．设集合中的元素皆为无重复数字（如113为有重复数字）的三位正整数，且中任意两个元素之积皆为奇数，则中元素个数的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角，，所对边分别为，，．已知，，．
(1)求；
(2)求．
16．如图，在正方体中，与交于点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积．
18．某企业新研发并生产一批产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品．
(1)求一件产品的次品率；
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．每件产品的质检费用为2元/个，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个（质检为次品的产品只记一次质检费用）．若有1000件产品等待质检，请估计质检和更换次品电子元件的总费用为多少元？（结果取整数）
19．设为函数的导函数，若为函数的极值点，则为曲线的拐点，亦称函数的拐点．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)当时，证明：函数的两个极值和拐点纵坐标可构成等差数列．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.
【详解】.
故选C.
2．【答案】D
【分析】根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】因为且，
又，所以，
所以.
故选D.
3．【答案】B
【分析】A选项，将数据从小到大排列，利用百分位数的定义求出A错误；B选项，利用中位数的定义得到B正确；C选项，利用极差的定义得到C错误；D选项，利用平均数定义计算出D错误.
【详解】A选项，将数据从小到大排列，，
，故从小到大，取第7个数作为80%分位数，为9，A错误；
B选项，从小到大，选取第4个和第5个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数为，B正确；
C选项，这组数据的极差为，C错误；
D选项，这组数据的平均数为，D错误.
故选B.
4．【答案】B
【分析】利用不等式的性质可判断A；利用基本不等式判断B；利用函数的单调性判定C、D.
【详解】对于A，因为，所以，A错误；
对于B，因为，所以，
由基本不等式，得，当且仅当，即时，等号成立，
而，所以，B正确；
对于C，因为函数在和上为减函数，
而无法判断范围，所以无法确定与的大小关系，C错误；
对于D，函数在上为增函数，
因为，所以，D错误.
故选B.
【快解】取，显然A、C、D不符合题意，故选B.
5．【答案】A
【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，所以，
若，则，所以，
故由“或”推得出“”，即充分性成立；
若，则，所以，
所以由“”推不出“或”，故必要性不成立；
所以“或”是“”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】C
【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案.
【详解】设公差为，
由题意可得，
即，
解得舍去，或，所以，
可得.
故选C.
7．【答案】A
【分析】根据题意，得，利用对数运算性质可解.
【详解】根据题意，得，
则，即.
故选A.
8．【答案】A
【分析】求出函数的导函数，根据是上的增函数，可得在上恒成立，分离参数，从而可求得答案.
【详解】由，
得，
因为是上的增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由于，所以，即
故选A.
【关键点拨】本题的关键在于把在上单调递增转化为在上恒成立问题，然后分离参数求最值问题.
9．【答案】AC
【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可.
【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为，
则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；
抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ACD
【分析】函数（）的最小正周期为，求出，可得的解析式，对各选项进行判断即可.
【详解】函数（）的最小正周期为，
所以，解得：，故A正确；
所以，
由对称中轴方程：，可得，
令，解得：，不满足题意，故不是函数的一条对称轴，故B错误；
令，解得：，所以的单调增区间为，
若函数在区间上单调递增，则
解得：，因为，所以，则，因为，所以是可取的一个值，故C正确；
将函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，可得：，所得图象关于原点对称，故D正确；
故选ACD.
11．【答案】ABD
【分析】A. 易得平面PEF，再利用面面垂直的判定定理判断；
B. 根据平面PEF，设二面角的平面角为，由求解判断；
C.由等体积法求解判断；
D. 设三棱锥内切球的半径为，由求解判断.
【详解】A.由题意得，且，平面，
所以 平面PEF，
又平面PAF，所以平面平面，故A正确；
B. 由平面PEF，且，，
设二面角的平面角为，则，故B正确；
C.，故C错误；
D. 设三棱锥内切球的半径为，则，
，解得，
所以三棱锥内切球的表面积为，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】3
【分析】根据等比数列性质和对数运算即可.
【详解】由题意得.
故答案为：3.
13．【答案】
【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解.
【详解】如图，假设在第一象限，由题意，，
因为为等边三角形，，
所以，，
即，代入椭圆方程得，，
即，
又因为，
所以，
即，
所以，
即，
解得，，或，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以离心率为.
故答案为：.
14．【答案】320
【分析】确定集合中的元素无偶数，均为奇数，利用分步乘法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意可知集合中的元素无偶数，均为奇数，
故个位数字从中选一个，有5种选法，
百位数字从除去0和个位数字上选定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法，
十位数字从除去百位数字和个位数字上选定的数字之外的8个数字中选一个，有8种选法，
故中元素个数的最大值为，
故答案为：320.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理求出，再由诱导公式计算可得.
【详解】（1）因为，，，
由余弦定理，
又，所以；
（2）由正弦定理，即，解得，
又，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得答案；
（2）以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）因为点分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以点为原点，
所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
，
设为平面的一个法向量，
则，即，令得，
所以，
设求直线与平面所成角为，
所以

【方法总结】求直线与平面所成角的方法：
（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角；
（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得、，即可求出双曲线方程；
（2）首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出，由勾股定理求出，即可求出，从而得解.
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以双曲线方程为.
（2）由（1）可知左，右焦点分别为，，
双曲线的渐近线为，
不妨取其中一条渐近线为，
则到直线的距离，
所以，
所以，
又，所以.
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)元
【分析】（1）根据对立事件，先求正品的概率，即可求解次品的概率；
（2）依题意，，列出分布列并求出期望；
（3）设一件产品质检和更换次品电子元件的费用之和为，则，利用期望的性质求解.
【详解】（1）记“任取一件产品为次品”为事件，
；
（2）依题意，，
所以，
，
，
，
则的分布列为
所以.
（3）设一件产品质检和更换次品电子元件的费用之和为，
则，
所以，
所以总费用为元.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）利用导数，分类讨论函数单调性，从而得极值；
（3）根据题意，找到函数的拐点纵坐标，结合（2）求得的极值，利用等差数列定义证明.
【详解】（1）当时，,
则，且，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即；
（2）由，则，
当时，，则函数在上为增函数，无极值点，
当时，
或时，，则函数单调递增，
，，则函数单调递减，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
当时，
或时，，则函数单调递增，
，，则函数单调递减，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值；
（3）令，则，
由，得，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以函数的拐点纵坐标为，
由（2）易知当时，函数有极大值，极小值，
对于，可得，
所以成等差数列.
【关键点拨】第（3）问，根据题意，找到函数的拐点纵坐标，结合（2）求得的极值，利用等差数列定义证明.0
1
2
3