江苏省扬州中学2024-2025学年高二下学期4月期中 数学试题【含答案】

这是一份江苏省扬州中学2024-2025学年高二下学期4月期中 数学试题【含答案】，共17页。试卷主要包含了04， 已知函数，则=， 在平行六面体中，，， 已知函数，等内容，欢迎下载使用。

试卷满分:150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，，则=（ ）
A． B． C． D．
2. 已知函数，则=（ ）
A．0B．C．1D．
3. 的展开式中第3项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
4. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．60种B．50种C．40种D．30种
6. 在平行六面体中，，. 取棱的中点,则（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8． 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．是的极小值点
C．在区间上单调递增，在区间上单调递减
D．在处取最大值
10．若，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当，，时，点到平面的距离的最小值是
C．当，时，的最小值为
D．当，时，点的轨迹总长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，
若，则的值为 .
13. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，
共有 种不同分配方法.
14. 函数的两个极值点满足，
则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16，
(1)求展开式中所有项的二项式系数的和；
(2)求含的项的系数.
16. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，
女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)名男学生互不相邻；
(2)名老师之间恰有1名男学生和1名女学生．
17. 已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最大值；
(2)若函数的最大值为，求实数的值.
18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，
平面，，点分别为棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？
若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，判断在上的零点个数并说明理由.
江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期期中试题
高二数学
2025.04
试卷满分:150分，考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
2.已知函数，则=（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】A
3.的展开式中第3项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
4. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
故选：C
5. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．60种B．50种C．40种D．30种
【答案】D
6. 在平行六面体中，，. 取棱的中点,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
8．在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．是的极小值点；
C．在区间上单调递增，在区间上单调递减
D．在处取最大值
【答案】BC
10．若，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
11．已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当，，时，则P到平面的距离的最小值是
C．当，时，的最小值为
D．当，且时，则P的轨迹总长度为
【答案】ACD
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则
因为，∴
对于A，当时，，此时,，，得，，
所以直线与平面垂直，故A正确；
对于B，由选项A知，向量也是平面的一个法向量，当，，时，，，则点到平面的距离，所以P到平面的距离的最小值是，故B不正确；
对于C，当，时，，，
故，
故
令，则
如图所示，，
显然当三点共线时，取得最小值，
最小值为，当且仅当，即时，等号成立，此时
则的最小值为，故C正确；
对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），设点在平面内的投影为点，
因为，所以点是的中心，
，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
若，则，
即点落在以为圆心，为半径的圆上，
点到三边的距离为，

此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ;
【答案】
13. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有 种不同分配方法；
【答案】
14. 函数的两个极值点满足，则的最小值为 .
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16，
(1)求展开式中所有项的二项式系数的和；
(2)求含的项的系数.
【详解】（1）由得，
所以二项式系数的和为：；
（2）二项展开式的通项为：，
依题意，令，解得，则有，
故的系数为40.
16. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)名男学生互不相邻；
(2)名老师之间必要有男女学生各人．
【详解】（1）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生有种站法，
所以共有种不同的站法．
（2）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，
两老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
17. 已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【详解】（1），
∴，
由，得.
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
的极大值为，也即的最大值为.
（2），
①当时，在上单调递增，
的最大值是，
解得，舍去；
②当时，由，得，
当，即时，
时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又在上的最大值为，
∴，
∴，
当，即时，在上单调递增，
，
解得，舍去.
综上，.
18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点分别是棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）连接与交于点，连接，
底面为菱形，点为的中点，
点为的中点，
又平面，平面，,,，又平面，,平面，又平面，平面平面.
（2）平面，且底面为菱形，两两垂直.
以为原点，以向量方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
底面为菱形，且，则为等边三角形，
，，
分别为的中点，，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，则，
底面为菱形，，
平面平面，且平面平面平面，
平面，
为平面的一个法向量，
设二面角大小为，
则．
所以二面角的大小为；
（3）不存在，理由如下：
因为点在线段上，设，
由可得，
则，则，则，
由题意，若直线与平面所成夹角为，
则，
整理得，解出
又因为，所以不符合题意，故线段上不存在这样的点．
19. 已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：在上有且只有一个零点.
【详解】（1）当时，，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，且，
由得，
当时，在上恒成立，
所以单调递增，恒成立，
当时，，
又因为，所以，
则在上，，
记，则时，，单调递减，
，与恒成立不符，
综上所述，恒成立，实数的取值范围是.
（3）当时，，
令，则，，
当时，，单调递减，
所以在上，，，
易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点，
令，，
在上，单调递减，，，
所以存在使得，在上，在上，；
因此在上单调递增，在上单调递减，，；
所以存在使得，在上，在上，；
故在上单调递增，在上单调递减，且，，
所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点
综上所述，时，函数在上有且只有一个零点.