宁夏银川市第二中学2024-2025学年高一下学期月考一数学试题（原卷版+解析版）

这是一份宁夏银川市第二中学2024-2025学年高一下学期月考一数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 若，则（ ）
A. B. 1C. D. 4
3. 给出下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若且，则D. 若，，则
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
6. 已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）

A. B.
C. D.
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ）
A. 在中，若，则
B 若，，，则有两个解
C. 在中“”是“”必要不充分条件
D. 若，则角
11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 存在最大值为9D. 最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是______．
13. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________.
14. 龙爪塔位于四川省通川区朝阳寺内，因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.为了测量塔的高度，选取与塔底在同一水平面的两个基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为_________米
.（参考数据，，最终结果需保留为整数）
四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，.
（1）求向量的模；
（2）若与垂直，求的值.
16. 设，，.求：
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）求在区间上的最小值，并求出此时对应的的值.
17. 在中，角所对的边分别为．
（1）求；
（2）若，求面积．
18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为.
（1）若，，，求面积；
（2）用“三斜求积”公式证明；
（3）若，且，求面积的最大值.
银川二中2024-2025学年第二学期高一年级月考一
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解.
【详解】由题意得，，
所以．
故选：B
2. 已知向量 若，则（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据即可得出， 解出即可.
【详解】，∴
∴.
故选： C.
3. 给出下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C 若且，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.
【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，
对于B，若，，则，∴B正确，
对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，
对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.
故选：B．
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，即可求出.
【详解】由正弦定理，则，
又，所以，所以，
所以.
故选：C
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得.
【详解】函数，
因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象.
故选：C
6. 已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：

因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，
则，
由得，可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
7. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可.
【详解】依题意在平行四边形中，，
又是的中点，则，
又与交于点，
所以，则，
所以，
又，
所以
故选：A.
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化，三角函数两角差公式以及三角函数的诱导公式即可得到答案.
【详解】根据正弦定理边角互化若，
则，
又根据诱导公式可知，
将上式可变形为，
根据三角函数两角差公式可化简，
所以
三角形内角和，代入即可求得
所以是直角三角形.
故选：A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】利用周期，带点求出解析式，再利用变换解题即可.
【详解】A.，故A正确；
B.，，由图知，
则，即，
因，故，则，
当时，，故，故B错误；
C.新函数，因，故C正确；
D.新函数，故D错误.
故选：AC.
10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 若，，，则有两个解
C. 在中“”是“”的必要不充分条件
D. 若，则角
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由正弦定理和倍角公式可得，再结合充分必要条件的定义即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果.
【详解】对于A，在中，由正弦定理知，，
结合大边对大角可得，故A正确；
对于B，因为，，，
由正弦定理，得，
由知，只有一解，所以有一个解，故B错误；
对于C，若，由正弦定理得：，
则，
因为，可知或，即或，
所以“”是“”的不充分条件，
若，则，，所以，
所以“”是“”的必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，因为，
由余弦定理得：，即，
因为，所以或，故D错误.
故选：BD.
11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 存在最大值为9D. 最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断AB；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断CD.
【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则，
对于A，由，得，则，A正确；
对于B，，
则
，B正确；
对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上，
设，
则，
，
由，得，则当时，取得最大值，C正确；
对于D，由，得，
即，
因此，则，
而，则当时，取得最大值，D错误.

故选：ABC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可.
【详解】向量，，与的夹角为，则，
所以在方向上的投影是.
故答案：
13. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________.
【答案】且.
【解析】
【分析】利用向量夹角为锐角的条件：两向量的点积大于0且不共线求解.
【详解】,
由点积大于0，得不等式：
-3λ+20>0 ⟹ λ