北京市东直门中学2024-2025学年第二学期高二数学期中试卷

这是一份北京市东直门中学2024-2025学年第二学期高二数学期中试卷，共9页。试卷主要包含了04， 已知函数，等内容，欢迎下载使用。
2025.04
命题人：王保国 审题人：陈昕
考试时间：120分钟 总分150分
班级 姓名 学号
第一部分
选择题：(共10小题，每题4分)
1． 已知函数，则 （ ）
A．B．1C．D．
2． 下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C． 2x'=2xD．
3． 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回地从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为( )
A.47 B.23 C.13 D.16
4． 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是( )

5． 在的展开式中，的系数为10，则 a 的值为（ ）
A． B．1C． D．2
6．如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ）
A． B． C． D．
7． 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．60种B．50种C．40种D．30种
8． 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10． 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A．B．C．D．
第二部分
填空题：（共5小题，每题5分）
11． 已知随机变量，若，则 ．
12． 已知a为常数，n∈N*，3x+axn的展开式中各项系数之和与二项式系数之和
均为32，则展开式中x的系数为 (用数字作答).
13． 随机变量X服从两点分布，若P(X=0)=14，则下列结论中：
①. P(X=1) = 34；
②. D(X) = 316；
③. E(2X+1) = 32；
④. D(2X+1) = 34.
正确结论的序号有 ．
14．关于x的方程2|x+a|=ex有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是
15． 同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是 .
问答题：（共6小题，共85分）
16．将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求X的期望及方差.
17. 已知函数，
(1)求函数在点点处的切线方程；
(2)求函数的极值点和极值．
18．今年我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：
以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每名观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取4名.
(1)求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；
(2)记其中评价为五星的观众人数为X，求X的分布列及均值.
19． 已知函数 f（x）= xlnx+ax，a∈R.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：xf(x)+e-x>a.
20． 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为 M0,1，离心率为
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点1,-1的直线交椭圆C于两点，设直线的斜率分别为k1,k2，
证明：与的和为定值.
21．如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列．
若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定．
(1)已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定：
条件“已知”；
条件“已知”．
(2)设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为；
(3)设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定．
参考答案
第一部分
选择题：(共10小题，每题4分)
1． C 2． D 3． B 4． B 5． D
6． A 7． D 8． D 9． A 10．D
第二部分
填空题：（共5小题，每题5分）
11． /
12． 270
13． ①②④
14．1-ln2，+∞
15．
问答题：（共6小题，共85分）
16．解（1）由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，
所以，，，，
所以分布列为
(2) E(x)=3×120+4×320+5×320+6×12=214
D(x)=3-2142×120+4-2142×320+5-2142×620+6-2142×1020=6380
17. 解（1）函数，求导得，则，而
所以所求切线方程为：.
（2）函数的定义域为，，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值点为1，极大值，无极小值．
18．解 (1)依题意，样本中抽取1人，评价为五星的概率为p5=75100=34，评价为四星的概率为p4=10100=110，
所以从全国所有观众中随机抽取4名，恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率P=C43343×110=27160.
(2)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X~B4，34，
所以P(X=0)=C40×1-344=1256，
P(X=1)=C41×34×1-343=364，
P(X=2)=C42×342×1-342=27128，
P(X=3)=C43×343×1-341=2764，
P(X=4)=C44×344=81256，
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=4×34=3.
19．（1）解 f（x）=xlnx+ax=ln x+ax，
f'（x）=1x-ax2=x-ax2，
当a≤0时，f'（x）>0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a>0时，由f'（x）0在（0，+∞）上恒成立，
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以当x>0时，g（x）>g（0）=0，
又xln x+1≥x，则xln x≥x-1，
所以xln x+e-x≥x-1+e-x>0，
故xln x+e-x>0，即xf（x）+e-x>a.
20．解（1）由椭圆上顶点为，得，
由椭圆C的离心率为，得，解得，
所以椭圆的方程为：.
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1)-1,k≠2，，
由y=kx-k-1x2+2y2=2消去得：2k2+1x2-4kk-1x+2k-12-2=0，
，解得k2，
，，
因此k1+k2=2k+k-2x1+k-2x2=2k+(k-2)⋅x1+x2x1x2=-2，
当直线斜率不存在时，由，得，
不妨令A(1,22),B(1,-22)，则k1+k2=-1-220-(-1)+-1-(-22)0-(-1)=-2，
所以与的和为定值-2.
21．解：（1）数表不能被确定；数表能被确定．
对于条件，假设数表中每行、每列的公差都相等，均为，
则，，，
则，
、均无法确定，故数表不能被确定；
对于条件，因为、确定，可以根据确定，则第二行可以全部确定，
低于第二列，由于确定，结合可确定第二列的公差，进而可求出，则第二列可以全部确定，
对于第三行，由于确定了，结合可求出第三行的公差，由此可确定，则第三行可以全部确定，
对于第一列，由于确定了、，可以求出第一列的公差，由此可确定，则第一列可以全部确定，
综上所述，数表可由条件确定.
（2）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与，
便可根据，求出该等差数列中的每一项．
故对于数表中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数．
一方面，若知这个数，则无法求出，故不能得出数表中所有的数，
所以．
另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知，
于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知，
所以数表中所有的数都能求出，即能被确定．
综上，的最小值为．
（3）当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数．
当时，已知与中的任意个数，
则必存在两个数在中位于同一行（记为第行），从而可求出这一行中的所有数．
因为与中至多有两个数在同一行，
所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中．
当时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第列和第列）；
当时，，
因为在与中至多有两个数在同一列，
所以至少有两列（记为第列和第列）中含有这已知的数中的数．
又因为第行的数均已得到，
所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出，
于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数．
综上，的最小值为．
评价等级
★
★★
★★★
★★★★
★★★★★
人数
2
3
10
10
75
…
…
…
…
X
0
1
2
3
4
P
1256
364
27128
2764
81256