四川省乐山市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份四川省乐山市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，又集合，
所以.
故选：B.
2. 已知，且为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为第二象限角，又因为，
所以.
故选：C.
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“”为存在量词命题，
其否定为：.
故选：C.
4. “角为第三象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若是第三象限角，则；
若，如，则不是第三象限角.
“角为第三象限角”是“”的的充分不必要条件.
故选：A.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数，
故函数是奇函数，图像关于原点对称，排除C、D，
当，排除B.
故选：A.
6. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，因为为减函数，，所以，故A错误；
对于B，因为为增函数，为减函数，所以，故B错误；
对于C，在同一坐标中画出与图像如下：
由图可知，故C正确；
对于D，因为，
在为增函数，，所以，故D错误.
故选：C.
7. 已知是第三象限角，则化简结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
因为是第三象限角，所以，
所以原式化简结果为.
故选：D.
8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若时，，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】由函数是定义域为的偶函数，则有，
由，则，故，
则，即，
则，故周期为，
则.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，所以，B错误；
对于C，由，得，
所以，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：AC.
10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意可得，且，
则，，即，故A、B正确；
由，，故，，
即，，
又，，故，，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数实数满足，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 函数有5个互不相等的零点
【答案】ACD
【解析】函数，
所以，
所以，故A正确；
由实数满足，
知函数的图象与有三个不同的交点，
作出函数图象，如图：
结合图象，可得，故选项B错误；
根据二次函数对称性知，，又，所以，
所以，故C正确；
，由题意，
所以函数零点个数为三个方程的解的个数之和，
即函数的图象分别与，，交点个数之和，
由C可知，，，结合图象可知，
函数的图象与有一个交点，
函数的图象与有三个交点，
函数的图象与有一个交点，
所以函数有5个互不相等的零点，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
当且仅当时取等号，此时，即函数的最小值是.
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】.
14. 根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中为饱和度，为初始值，此后第年底新能源汽车的保有量为（单位：万辆），为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约__________万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：）
【答案】36
【解析】根据题意，所给模型中，
则2030年底该省新能源汽车的保有量为，
因为，所以，所以，
所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万辆.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）因为，所以或，
所以或，所以，
当时，，
所以.
（2）当时，，，
又或，，所以，解得，
所以的取值范围为.
16. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点.
（1）求值：；
（2）先化简再求值：.
解：（1）由三角函数的定义可得，
所以.
（2）
.
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）
；
（2）
.
18. 已知函数（为实数）是奇函数.
（1）求的值；
（2）解不等式：；
（3）若实数满足，求的取值范围.
解：（1）由题意函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，即．
所以.
（2）由（1）知，则，
所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为.
（3）由（1）可得；
取任意，且，
则
，
因为，所以，又易知，
所以，即；
因此函数为单调递减函数；
由可得；
由单调递减可知，即，
解得，所以的取值范围为.
19. 已知函数，其中.
（1）证明：函数的图象是中心对称图形；
（2）设，证明：；
（3）令，若，使得，求的取值范围.
解：（1）由题意可得，即，即，
，
故关于中心对称.
（2）当时，，
则，
故当时，.
（3）当时，单调递减，单调递增，
则单调递减，又关于中心对称，故在上单调递减，
则，
当，令，则，
由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，故，
则有恒成立，即，故.