四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级中考一诊数学试题（解析版）

这是一份四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级中考一诊数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 反比例函数的图象经过以下各点中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选C．
2. 正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，该几何体的主视图是正中间是个正方形，故选：C．
3. 在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ）
A. OAB. OBC. OCD. OD
【答案】A
【解析】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意；
B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意；
C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意；
D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意；
故选A.
4. 已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意作图如下：
A、，，，不符合题意；
B、，，，不符合题意；
C、，，，不符合题意；
D、根据和不能判断，符合题意；
故选：D．
5. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作于C，
∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴，
∴（米），
∵，
∴（米）
故选：D．
6. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】点，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，
即，或者，即，
故选：．
7. 一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A. ﹣2＜x＜0或x＞1B. ﹣2＜x＜1
C. x＜﹣2或x＞1D. x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】D
【解析】由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
故选D．
8. 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵，
∴，
∴
，
∴，∴，
故选：B．
9. 如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（ ）
A. B. C. 8D. 4
【答案】A
【解析】连接，如图，

，，
，，
在中，，，
，，，
，，．
故选：A．
10. 已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（ ）
A. 当x1＝x2＞2时，y1＞y2B. 当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C. 当y1＝y2＞k时，x1＜x2D. 当y1＝y2＜k时，x1＞x2
【答案】C
【解析】当y1= y2时，得，
∴，
∴，，
经检验，，为原方程的解，
当时，，
当时，，
∵y1随x1增大而减小，y2随x2增大而增大，
∴当x1＝x2＞2时，,，
∵k＞0，∴，即选项A错误；
当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2，∴选项B错误；
∴当y1＝y2＞k时，,，
∴x1＜x2，即选项C正确；
∴当-k＜y1＝y2＜0时，,，
∴x1＜x2，即选项D不正确；
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若，则锐角_________．
【答案】
【解析】∵，∴，
故答案为．
12. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 _____．
【答案】
【解析】∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，
∴△EAB∽△EDC，∴，
又∵AE=3，ED=5，∴．
13. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】由题意得，解得．
14. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________．
【答案】
【解析】△ABC为等边三角形，，
，
∠ADE＝60°，
,
，
，，
BD：DC＝1：2，AD＝2，
设，
则，，
解得．
15. 无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的距离是_______米．
【答案】
【解析】过点A作于点D，
∴测得小山两端B，C的俯角分别是和，
∴，，
在中，米，
中，米，
∴米．
16. 如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；
④．其中正确的是__________（填序号）

【答案】①②④
【解析】∵点A，都在上，且轴，轴，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
如图，过点作轴于点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，故②正确；
∴，故③不正确；
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．

故答案为：①②④．
三、解答题（共10小题，共96分）
17. 计算：°+°.
解：原式===．
18. 已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
解：（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2，
∴正比例函数解析式为y=2x．
把A（1，2）代入得b=1×2=2，
∴反比例函数解析式为．
（2）如图，当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值．
19. 如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点.
（1）求证：；
（2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法）
（1）证明：∵四边形是菱形，∴.
∴.∴.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，
尺规作图如图所示：
①作∠CPQ=∠AEF，步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形；
②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；
或
∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.
20. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）小明想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
解：（1）由题意可得，则，
即y关于x的函数表达式为．
（2）他不能撬动这块石头．理由如下：
由（1）知，
当时，，解得．
∵，∴他不能撬动这块石头．
21. 如图，是的中线，是锐角，，，．

（1）求的长．
（2）求的值．
解：（1）过点作于点，

在中，，，
，，，，
在中，，，
为等腰直角三角形，，
；
（2）为边上的中线，，，
．
22. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米．
答：杨树的高度约米．
23. 小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系，直至水温降至时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）．

（1）求反比例图像段的函数关系式，并求自变量的取值范围．
（2）小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？
解：（1）由题意可得：开机加热到所需时间为：（分钟），
点坐标为，点坐标为，

设反比例图像段函数关系式，
把点代入得：，
解得：，，
令时，代入，解得：，则点C，
反比例图像段的函数关系式：；
（2）由（1）可知：
从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，，
当水温第二次加热到所需时间：，
当水温第二次下降到所需时间为：，
他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片．
24. 如图，为的直径，且弦于点，过点的切线与的延长线交于点．
（1）若是的中点，连接并延长，交于．求证：；
（2）若，，求的半径．
（1）证明：∵弦，M是的中点，∴．∴．
而，∴．
∴．∴；
（2）解：如图，连接，
∵为直径，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∴．
又∵
∴．
∴，即．
∵，∴．
在中，，
设，则，
∴．
∴．
解得（舍）．
∴．
∴的半径为．
25. 如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
（1）求证：；
（2）某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
（2）解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴于点，且．
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点为抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图，在（）的条件下，作轴，点在直线下方的第一象限内，连接，延长交轴于点，若四边形的面积为，且，求点的坐标．
解：（1）抛物线中，令，则，
∴，∴，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）抛物线中，令，则，
解得或，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵轴轴，轴，
∴，
∵，∴，∴，
即，
∴，
∴与的函数关系式为；
（3）延长交轴于点，
由已知得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得 或，
当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
∴点的坐标为或．