山东省日照市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份山东省日照市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知函数，且，则， 若，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
所以.
故选：A.
2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：在定义域上单调递减，故B正确；
对于C：，则，
当时，所以在上单调递增，故C错误；
对于D：在定义域上单调递增，故D错误.故选：B
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数，且，则（ ）
A. 2B. 4C. 0或4D. 2或4
【答案】C
【解析】当时，因为，
所以，所以，经检验，满足题意；
当时，因为，
所以，即，所以，经检验，满足题意.
故选：C
5. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在区间内有2个极值点
C. 在区间上是增函数
D. 曲线在处的切线的斜率大于0
【答案】D
【解析】由导函数的部分图象可得，
当或时，，
当或时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间内有个极值点，故BC错误；
所以，故A错误；
曲线在处的切线的斜率为，故D正确.
故选：D.
6. 已知等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有，
而对于等比数列而言，，
从而
.
故选：C.
7. 已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设切线的切点为，
则.
且由，及该直线斜率，知.
所以，故，从而代入知，即.
所以
.
当，时，有，.
所以的最小值是.
故选：C.
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，则，
当时，，当时，，
所以函数上单调递增，在上单调递减，
所以，即，即，
所以，
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即，即，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，即，
所以，即，
综上所述.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 若，则函数的最小值为2
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，命题“”的否定是“或”，
故B正确；
对于C，则，
当且仅当，此时无解，故取不到等号，
所以，故C错误；
对于D，当时，恒成立，
当时，
则，解得，
综上所述，，故D正确.
故选：BD.
10. 定义域为R的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，在中，
令，有，解得或，
若，在中，
令，有，
这就得到恒成立，这与已知不恒为0矛盾，所以不可能成立，
而在处有定义，故一定有，故A错误；
对于B，在中，令，有，
即有，且函数的定义域为R，所以为偶函数，故B正确；
对于C，在中，令，有，
即，
而取遍所有实数时，也取遍所有实数，所以恒成立，故C正确；
对于D，若，在中，令，有，
这意味着函数的图象关于点中心对称，
所以，所以函数的周期为4，
而
，
，故D正确.
故选：BCD.
11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为，
所以，所以B错误，
所以由，得，，，所以A正确，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以
，
所以，所以，所以D正确，
因为，所以，
因为，，所以，
所以，所以C错误，
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是偶函数，则__________.
【答案】1
【解析】，
由是偶函数可得，即恒成立.
故.
故答案为：1
13. 已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则______.
【答案】2
【解析】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故答案为：2.
14. 已知函数，，若函数的图象恒在的图象的上方，其中，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意，恒成立，
令，则，
，
当时，，
所以函数在上单调递增，
又时，，
所以函数无最小值，所以时与题意矛盾；
当时，令，则，令，则，
所以函数在山单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，所以，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步理.
15. 已知数列的前n项和为，，各项均为正数的等比数列，满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
解：（1）由题意，
，
而，所以，
设各项均为正数等比数列的公比为，满足，
则，
所以；
（2）由（1）中结论可知，，
所以数列的前n项和，
，
所以.
16. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
解：（1）当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
（2），
令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，考虑，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的极大值为，所以由得；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，
则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，．
17. 已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，且，令，求的最小值．
解：（1）设等差数列的首项为，公差为．
由，得，
解得：，所以．
（2）方法一：由（1）得，
由题意，
，
而，从而，
，
而关于单调递减，从而关于单调递增，
所以关于也是单调递增，
所以当时，的最小值为；
方法二：由（1）得，
由题意，
，
而，从而，
又，所以单调递增，
所以的最小值为.
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）若函数有3个零点，其中.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
解：（1）因为，
所以，
所以；
（2）因为，所以除1外还有两个不同的零点，
由，得，
令，
当时，在上恒成立，则，
所以在上单调递减，
所以在上至多有1个零点，不合题意，舍去；
当时，除1外还有两个不同的零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，
则，所以，
当或时，，则，
当时，，则，
所以在和上递增，在上递减，
因为，所以，
因为，且，
，且，
所以存在，使得，
所以有3个零点，
综上，a的取值范围为；
（ⅱ）证明：由（1）知，即，
所以若，则，所以，
当时，先证明不等式恒成立，
令，
则，
所以在上递增，所以，
所以当时，不等式恒成立，
由，可得，
所以，
因为，所以，
所以，
两边同除以，得，
即，
所以.
19. 已知数列满足，数列为公差为的等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”.
（1）求的值；
（2）若“1-函数”，求n的最小值；
（3）记函数,其导函数为,证明：“函数”.
附：
解：（1），，公差为2，
所以，
，
所以；
（2），，公差为1，
所以，
，当时，
，
而，
所以，
，
设，则g'x=12x2-x+43=12x-12+56>0，
所以关于单调递增，
所以关于单调递增，
注意到
，
所以当时，均满足，
所以满足题意的n的最小值为；
（3）由题意得
由，得，
所以，所以，
所以.