江苏省无锡市第三高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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这是一份江苏省无锡市第三高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了在中，若，则是，下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1 已知复数z满足，则（）
A. B. C. D.
2. 在中，若，则是（）
A. B. 或C. 或D.
3. 如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（）

A. B. C. D.
4. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（）
A. B. C. D.
5. 已知点，，．则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
6. 若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D 若，，，则
7. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（）
A. B. C. D. 4
8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（）

A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（）
A B. C. D.
10. 下列结论中正确的是（）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若复数满足，则的最大值为3
D. 若（，），则
11. 如图所示，在棱长为的正方体中，P，Q分别为线段，上的动点不含端点，则下列说法正确的是（）

A. 存在点P，Q，使得
B. 直线和直线异面
C. 存点P，Q，使得平面
D. 周长的最小值为
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，若，则______.
13. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______.
14. 斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______．
四、简答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题共5小题，共77分）
15. 设复数（其中），．
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求的虚部以及
16. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量满足：，，且．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围．
18. 如图：在正方体中，棱长，M为的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，

（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；
（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.