2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷（原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 如图，，，，则的周长是等内容，欢迎下载使用。
（试题卷）
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中最小的一个数是（ ）
A. 0B. C. D.
2. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（ ）
A. 176B. 188C. 190D. 191
7. 如图，，，，则的周长是（ ）
A. 18B. 20C. 26D. 28
8. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
9. 明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（ ）
A. B.
C D.
10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ）
A. 函数图象上的“和谐点”在第二象限B. 函数图象上有两个“和谐点”
C. 函数图象上只有一个“和谐点”D. 函数图象上“和谐点”的横坐标为
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 绝对值是 _______．
12. 已知关于的方程的一个根为2，则的值为________．
13. 将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是________．
14. 某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为________分钟．
15. 如图，，．若，则________度．
16. 校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为________米（结果保留）．
17. 如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________．
18. 小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为________（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为________．
三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20. 解方程组：．
21. 某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）；
（3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数．
22. 某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A、B两款吉祥物的销售单价；
（2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？
23. 如图，在中，点D为线段上任意一点．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．
求证：四边形是菱形．
24. 综合与实践
25. 在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．
26. 如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，
①若，，求长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
郴州市2025年初中学业水平考试第二次监测
数学
（试题卷）
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中最小的一个数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的数为：；
故选：B．
2. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：将数据126000000用科学记数法表示为，
故选：B．
4. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
的左视图是，
故选B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
6. 5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（ ）
A. 176B. 188C. 190D. 191
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数叫作中位数，按照定义求解即可．
【详解】解：该组数据从小到大排序为：176， 188，190，191，191，共5个数，第3个数是190，
即中位数是190，
故选C．
7. 如图，，，，则的周长是（ ）
A. 18B. 20C. 26D. 28
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键．
根据，得，则，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长是，
故选：A ．
8. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点所在象限的判定，掌握平面直角坐标系的特点是关键．
根据平面直角坐标系中各象限中点的符号特点判定即可，第一象限点的符号，第二象限点的符号，第三象限点的符号，第四象限点的符号．
【详解】解：∵，，
∴点所在象限是第四象限，
故选：D ．
9. 明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题关键是列出未知数，找出等量关系．
根据两种分配方案的人数相等这一等量关系，列出方程即可．
【详解】解：根据题意，半斤8两，
根据两种分配方案的人数相等可列如下方程：
．
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ）
A. 函数图象上的“和谐点”在第二象限B. 函数图象上有两个“和谐点”
C. 函数图象上只有一个“和谐点”D. 函数图象上的“和谐点”的横坐标为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新定义，一次函数，二次函数图形点的特点，理解新定义的计算方法是关键．
点的关系为，即，由此代入一次函数，二次函数解析式中计算即可求解．
【详解】解：平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，则点的关系为，即，
A、函数，
∴，
解得，，则，
∴“和谐点”为，在第二象限，正确，不符合题意；
B、函数，
∴，整理得，，
解得，，则对应的，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上有两个“和谐点”，正确，不符合题意；
C、函数，
∴，整理得，，无解，
∴函数图象上没有一个“和谐点”，故原选项错误，符合题意；
D、函数，
∴，整理得，，
解得，，则，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上的“和谐点”的横坐标为，正确，不符合题意；
故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 的绝对值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，掌握是解题的关键．
【详解】解：；
故答案：．
12. 已知关于的方程的一个根为2，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】将代入方程中，求出的值即可．
【详解】将代入方程中，得
，
，
∴．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
13. 将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率．根据概率公式直接计算即可．
【详解】解：摸出小球上的汉字为“美”的概率是，
故答案为：．
14. 某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为________分钟．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数的函数值，将代入计算即可．
【详解】解：当时，（分钟），
故答案为：5．
15. 如图，，．若，则________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，据此求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
16. 校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为________米（结果保留）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：米，，
，
故答案为：．
17. 如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解．
【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，
即的最小值为3．
故答案为：3．
18. 小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为________（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为________．
【答案】 ①. ②. 17
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
【详解】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：，
不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：，
由题意得，
解得，
所以排队人数m的最小值为17，
故答案为：；17．
三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查0指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值．根据0指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂及特殊角的三角函数值直接求解即可得到答案．
【详解】解：
．
20. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组．用加减消元法求出其中一个未知数的值，将求出的未知数的值代入其中的一个方程求解，即可求解．
【详解】解：，
①②得：，
解得：，
将代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
21. 某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）；
（3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数．
【答案】（1）50，40，72
（2）见解析 （3）720人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合，利用样本估计总体．
（1）用A等级人数除以所占百分比可得参赛总人数，进而可求出m，；
（2）总人数减去A，C，D人数可得B等级人数，再补全图形即可；
（3）用学校总人数乘以“B等级”的人数所占百分比可得答案．
【小问1详解】
解：该班参加竞赛的学生有（人），
扇形统计图中，，
圆心角，
故答案为：50，40，72；
【小问2详解】
解：B等级人数为：（人），
补全图形如下：
【小问3详解】
解：（人）
答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人．
22. 某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A、B两款吉祥物的销售单价；
（2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
（2）当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款吉祥物的销售单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以得到利润与购买A款吉祥物数量的函数关系，然后根据B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，可以求得A款吉祥物数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是多少元．
【小问1详解】
解：设A款吉祥物单价是a元，则B款吉祥物的单价是元，
根据题意得：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
【小问2详解】
解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元，
，
∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，
∴，
解得，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
120-x=40，
答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
23. 如图，在中，点D为线段上任意一点．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．
求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定定理．
（1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图即可；
（2）选择①平分，先证明四边形为平行四边形，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．选择②点G为中点，先证明是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质求得，即可证明四边形为菱形．
【小问1详解】
解：如图：即为所求；
；
【小问2详解】
解：选择①平分；
证明：平分，
，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
选择②点G为中点，
证明：∵是线段垂直平分线，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形．
24. 综合与实践
【答案】任务一：合理，理由见详解
任务二：篮球架的伸臂距离地面的高度约为米
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键．
任务一：根据题意得到，合格，如图所示，过点作，根据平行线的判定可得，合格，由此即可求解；
任务二：如图所示，过点作于点，则，可得，设米，则，可得米，根据题意得到，是等腰直角三角形，则，即，由此即可求解．
【详解】解：任务一：篮球架安装合格，理由如下，
∵，
∴，合格，
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，合格，
综上所述，篮球架安装合格；
任务二：如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
设米，则，
∴米，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，即，
解得，，
∴米，
∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）把点A坐标代入对应抛物线解析式中计算求解即可；
（2）①过点P作轴于H，交于G，先求出，直线解析式为；再证明，得到；设，则，则，解方程即可解题；
②先求出抛物线的解析式为；点F的坐标为；再求出直线解析式为，则，可证明是等腰直角三角形，得到；再分如图2所示，当点N在y轴右侧时，如图3所示，当点N在y轴左侧时，两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中得，解得；
【小问2详解】
解：①如图所示，过点P作轴于H，交于G，
由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
在中，当时，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
②∵将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
∵点F为点P平移后的对应点，
∴点F的坐标为，即；
由①同理可求得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如2图所示，当点N在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴；
如2图所示，过点N作轴于K，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
把代入中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3所示，当点N在y轴左侧时，过点M作轴，过点N作于K，
同理可得，
∴，
设，
∴，
把代入中得：，
解得（舍去）或，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的中与判定，一次函数与几何综合，勾股定理等等，解（2）①的关键在于作出辅助线构造相似三角形，解（2）②的关键在于证明．
26. 如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）①；②证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角得到，根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等即可求解；
（2）①如图所示，连接，可证是等边三角形，得到，由此即可求解；
②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵直径，
∴，
∵过点作，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①∵是直径，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵,
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查圆与三角形，四边形的综合，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对弦相等，等腰直角三角形的，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键．
目标
篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具
测角仪、卷尺
素材1
小敏借助测角仪测得：，，．
素材2
为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：．
（参考数据：，，）
任务一
利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．
任务二
利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）
目标
篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具
测角仪、卷尺
素材1
小敏借助测角仪测得：，，．
素材2
为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：．
（参考数据：，，）
任务一
利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．
任务二
利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）