广西示范性高中2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含解析

这是一份广西示范性高中2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含解析，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A.20种B.9种C.5种D.4种
2.已知函数的部分图象如图所示，其中，，是图象上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.甲、乙、丙、丁共4人站成一排，且甲不在两端，则不同排法共有（ ）
A.24种B.12种C.8种D.6种
4.现从含甲、乙在内的9名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A.B.C.D.
5.已知，是双曲线E：（，）的左，右焦点，点M在E上，且垂直x轴，若，则E的离心率为（ ）
A.B.C.D.2
6.已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A.0B.54C.49D.42
7.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（ ）万条时，该软件能获得最高收益.
A.17B.18C.19D.20
8.设随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
A.
B.随机变量X的数学期望可以等于3.5
C.当时，
D.数列的通项公式可以为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.若随机变量X的数学期望，则
B.若随机变量且，则
C.若随机变量，则
D.在含有3件次品的9件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.有两个极值点
B.的图象关于点P对称
C.若方程有三个实数根，则
D.过原点有两条直线与曲线相切
11.在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，点Q在侧面内运动，则下列结论正确是（ ）
A.若，则动点Q的轨迹是线段
B.若，则动点Q的轨迹是圆的一部分
C.若，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分
D.若点Q到与的距离相等，则动点Q的轨迹是双曲线的一部分
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中含项的系数为________.（用数字作答）
13.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为80%，其余学生的近视率约为50%，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是________.
14.如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.设数列是项数为（，且）的“对称数列”，且满足，记为数列的前n项和.若，，…，构成单调递增数列，且，则当取得最大值时，________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）设是公比不为1的等比数列，，为，的等差中项.
（1）求数列的公比；
（2）求数列的前n项和.
16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪，在战国时期较为盛行，尤其是在唐朝得到了发扬光大.投壶是把箭向壶里投，投中多的即胜出.某校开展“健康体育节”活动期间，甲、乙两人轮流进行定点投壶比赛（每人各投一次为一轮，且不受先后顺序影响），在相同的条件下，甲、乙两人每轮在同一位置，每人投一次.若两人有一人投中，则投中者得2分，未投中者得-2分；若两人都投中，则两人均得1分；若两人都未投中，则两人均得0分.设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投壶互不影响.
（1）求第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分的概率；
（2）经过2轮投壶，记甲、乙的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.
18.（本小题满分17分）已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）若在区间上存在唯一零点，证明：.
19.（本小题满分17分）已知椭圆C：的左右焦点和上顶点构成边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）关于圆的切线有这样的结论：“圆上点处的切线方程为”，类比到椭圆也有这样的结论：“椭圆上点处的切线方程为”.已知点M在直线上，过M作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线过定点；
（3）对（2）中的A，B，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出此定值及点N的坐标；若不存在，请说明理由.
数学参考答案
1.B.从4本语文类读物取出1本，有4种取法，从数学类读物中取出1本，有5种取法，由分类加法计数原理，共有9种不同的取法，故选B.
2.D.因为点在减区间内，所以；为极小值点，；点在增区间内.故，选D.
3.B.先排甲，甲只能在中间两个位置，有2种排法，其他3分任意排，有种，由分步乘法计数原理，共有12种不同的排法，故选B.
4.A.设“甲被选中”，“乙被选中”，则，，，选A.
5.A.因为垂直轴，所以，即，，得，解得，选A.
6.C.由等比数列的性质可知，因为，所以，，∴，选C.
7.C.设收益为元，则，，
当时，，当时，
即函数在（2，19）上单调递增，在上单调递减，
即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益，故选C.
8.D.①由已知，.A正确；
②当时，，B正确；
③当时，，∴，C正确；
④若，则
，
故D错误.
9.ABD.①，A正确；
②，B正确；
③则，C错误；
④由超几何分布的概率公式可得，D正确。
10.AD.①，
当或时，，当时，，在处取得极大值，
在处取得极小值，有两个极值点，即A正确；
②因为，即（3，0）在的图象上，（3，0）点关于点的对称点为，但，所以的图象不关于点对称，B错误；
③由①知，要使若方程有三个实数根，则需，得，C错误；
④设切点横坐标为，则切线方程为，
因为切线过原点，所以有，
又，所以，
解得，或，
故过原点有两条直线与曲线相切，D正确.
11.AB.①如图1，因为面，若，则面，
又面，所以点Q的轨迹是面与面的交线段，A正确；
②如图2，因为面，所以是直角三角形，
又因为，，所以，即Q的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆弧，B正确；

图1 图2
③以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，∴.
∵，∴，
即，得，
点Q的轨迹是双曲线的一部分，C错误；
④以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设，（其中，）
则Q到的距离等于，Q到的距离y，
∴与矛盾，故这样点Q不存在，D错误.
12.-10.由，令，得，所以项的系数为.
13.设事件A为“任意调查一名学生，每天玩手机超过1h”，事件B为“任意调查一名学生，该学生近视”，
则，，，，
∴.
④）5×5+5×¹=25
14.1012.由题设知构成公差为2的等差数列，构成公差为-2的等差数列，
，
所以当时，取得最大值.
15.【解析】
（1）设是公比为，
∵是，的等差中项，∴，即
又∵∴，解得，（舍去），
所以数列的公比为-2.
（2）∵，，∴，
设数列的前n项和为，
则
∴数列的前项和.
16.【解析】
（1）∵，是的中点，∴
又∵平面平面交于，面
∴平面，
又面，∴.
（2）取的中点E，
∵，∴，，且，
∴四边形是矩形，，
因此是正三角形，，，.
如图所示，建立空间直角坐标系
，，，，，
∴，，，
设平面的法向量，
则有，
令，则，
故取.
由
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.【解析】
（1）设事件“甲投一次，投中”，事件“乙投一次，投中”事件“第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分”
依题意，，，A，B相互独立，
所以，
即第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分的概率.
（2）由（1）知第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为0分的概率为，
因此第一轮投壶结束时甲、乙得分之和为2分的概率为.
依题意，X的所有可能取值为0，2，4
∴的分布列为
所以.
18.【解析】
（1）由题意可知：的定义域为，且
若，则对恒成立
∴的单调递增区间为，无单调递减区间.
若，令，解得
当时，，当时，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为
综上，若，的单调递增区间为，无单调递减区间，
若，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：因为在区间上存在唯一零点
即存在唯一的，使，即
要证明，只需证，即只需证
设，则，
令，则
所以当时，单调递增，，
故当时，单调递增，所以成立，
综上所述，得证.
19.【解析】
（1）由已知，，，所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，
则切线的方程为
切线的方程为
∵，
∴，即A，B都在直线上.
∴直线的方程为，即所以直线过定点
（3）由（2）知直线的斜率不为0，设的方程为
联立，得
∴，，
，
设，则
要使为定值，则需，
解得，此时，X
1
2
3
4
5
6
p
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
B
A
A
C
C
D
ABD
AD
AB
0
2
4