2025届江苏省扬州市中考一模数学试卷

这是一份2025届江苏省扬州市中考一模数学试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高3​∘C时，气温变化记作+3​∘C，那么气温下降5​∘C时，气温变化记作（ ）
A.−8​∘CB.−5​∘CC.+5​∘CD.+8​∘C

2.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A.B. C.D.

3.下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A. B. C.D.

4.能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（ ）
A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.直方图

5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠ACB=65∘，则∠BAD的度数是（ ）
A.20∘B.25∘C.30∘D.35∘

6.下列运算正确的是（ ）
A.a2+a3=a5B.a2⋅a3=a5C.a23=a5D.a−32=a2−9

7.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155∘,∠2=30∘，则∠3的度数为（ ）
A.45∘B.50∘C.55∘D.60∘

8.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别记△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积为S1，S2，S3，S4，若AB∥CD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A.S2=S4B.S1+S3=S2+S4C.S1:S2=S4:S3D.S2=S1⋅S3
二、填空题

9.若 x−2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________．

10.华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为_______________．

11.因式分解：3a2−18a+27=________________．

12.一个圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，其侧面展开图的面积是________．

13.一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n＝___________．

14.命题“如果a2>b2，那么a>b”是______________命题（填“真”或“假”）．

15.已知A3,y1,B4,y2是直线y=k−2x+b上的两点，若y10,b>0．
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若m−n一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值．

27.若点P在四边形ABCD内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形ABCD内部，且PA=PD，则称点P为边AD的“等距点”．
（1）如图1，四边形ABCD中，PC⊥PB于点P，∠PBC=45∘，求证：点P是边BC的“等距点”．
（2）如图2，点P是矩形ABCD边AD的“等距点”，AB=10，BC=8．
①当∠APB=90∘时，请求出PA的值；
②设∠BAP、∠ABP分别为α、β，试求1tanα⋅tanβ的最大值．
（3）当四边形ABCD满足_______时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点．

28.如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于点A−1,0，B4,0，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E为线段BC上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以EF、FG为邻边构造矩形EFGH．设点E的横坐标为m，矩形EFGH的周长为L．
①求L关于m的函数表达式；
②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围．
参考答案与试题解析
2025届江苏省扬州市梅岭集团中考一模数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
相反意义的量
【解析】
本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可．
【解答】
解：∵气温升高3​∘C时，气温变化记作+3​∘C，
∴气温下降5​∘C时，气温变化记作−5​∘C．
故选：B．
2.
【答案】
B
【考点】
中心对称图形
【解析】
本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】
解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3.
【答案】
A
【考点】
几何体的展开图
【解析】
根据三棱柱的展开图的特点作答．
【解答】
解：A、是三棱柱的平面展开图；
B、是三棱锥的展开图，故不是；
C、是四棱锥的展开图，故不是；
D、两底在同一侧，也不符合题意．
故选：A．
4.
【答案】
C
【考点】
统计图的选择
【解析】
根据统计图的特点解答．
【解答】
解：能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制折线统计图，
故选：C．
5.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
【解析】
本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理求得∠ACD=90∘，得到∠BCD=25∘，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】
解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90∘，
∵∠ACB=65∘，
∴∠BCD=90∘−65∘=25∘，
∵BD⌢=BD⌢，
∴∠BAD=∠BCD=25∘，
故选：B．
6.
【答案】
B
【考点】
合并同类项
同底数幂的乘法
幂的乘方
运用完全平方公式进行运算
【解析】
本题考查了同底数幂的乘法、乘方运算、合并同类项、完全平方公式，根据运算法则逐一计算判断即可．
【解答】
解：A. a2与a3不是同类项不能合并，故错误，不合题意；
B.a2⋅a3=a5，故正确，符合题意；
C.a32=a6，故错误，不合题意；
D.a−32=a2−6a+9，故错误，不合题意；
故选：B．
7.
【答案】
C
【考点】
两直线平行同旁内角互补
三角形的外角的定义及性质
【解析】
利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【解答】
解：∵AB // OF，
∴∠1+∠BFO=180∘，
∴∠BFO=180∘−155∘=25∘，
∵∠POF=∠2=30∘，
∴∠3=∠POF+∠BFO=30∘+25∘=55∘；
故选：C．
8.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
本题考查了相似三角形的性质和判定，同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比得到S1S2=OAOC，S4S3=OAOC，进而可判断B和C；将S4=S2代入S1S2=S4S3即可判断D．
【解答】
解：∵AB∥CD
∴S△ABD=S△ABC（同底等高的两个三角形面积相等）
∴S△ABD−S1=S△ABC−S1
∴S4=S2，故A正确；
∵点A，O，C共线
∴点B到OA的距离等于点B到OC的距离
∴S1S2=OAOC，即S1=OAOCS2
同理可得，S4S3=OAOC，即S3=OCOAS4
∴S1+S3=OAOCS2+OCOAS4
∵OA和OC不一定相等
∴S1+S3和S2+S4不一定相等，故B正确；
∴S1S2=S4S3，故C正确；
∴S2S4=S1S3
∴S22=S1S3
∴S2=S1⋅S3，故D正确．
故选：B．
二、填空题
9.
【答案】
x≥2
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【解答】
解：∵x−2在实数范围内有意义，，
∴x−2≥0，
∴x≥2，
故答案为：x≥2．
10.
【答案】
7×10−9
【考点】
用科学记数法表示绝对值小于1的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a10时，n是正数；当原数的绝对值b2，
但a2
【考点】
根据一次函数增减性求参数
【解析】
本题考查了一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
当32．
16.
【答案】
24
【考点】
圆周角定理
切线的性质
【解析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠PCO=90∘，再利用互余计算出∠POC=90∘−42∘=48∘，然后根据圆周角定理求解．
【解答】
解：连接OC，如图，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90∘，
∵∠P=42∘，
∴∠POC=90∘−42∘=48∘，
∴∠A=12∠POC=24∘，
故答案为： 24 ．
17.
【答案】
4.5/92
【考点】
直角三角形斜边上的中线
翻折变换（折叠问题）
相似三角形的性质与判定
【解析】
本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是截图关键．
连接AA′交DE于点F，通过直角三角形的性质得AA′=A′B=6，结合折叠的性质证得△ADA′∽△AA′B，可得AD=AA′2AB，即可求解．
【解答】
解：如图，连接AA′交DE于点F，
∵点A′为BC的中点，BC=12，
∴A′B=A′C=12BC=6，
∵∠A=90∘，
∴AA′=A′B=6，
∴∠B=∠BAA′，
∵将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC边的中点A′处，
∴AD=A′D，
∴∠BAA′=∠DA′A，
∴∠B=∠DA′A，
∴△ADA′∽△AA′B，
∴ADAA′=AA′AB，
∴AD=AA′2AB=628=4.5．
故答案为：4.5．
18.
【答案】
5
【考点】
反比例函数综合题
根据旋转的性质求解
相似三角形的性质与判定
解直角三角形的相关计算
【解析】
过A作AC⊥x轴于C，过B′作B′D⊥x轴于D，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到OB′=OB=3,OA′=OA=3，证明△A′CO∽△ODB′得到A′COD=OCB′D=OA′OB′=3，则可得A′−3n,3m，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到mn=1，由勾股定理求得m2+n2=32=3，进而利用完全平方公式求解即可．
【解答】
解：过A′作A′C⊥x轴于C，过B′作B′D⊥x轴于D，则∠A′CO=∠ODB′=90∘，
∵点A坐标是0,3，
∴OA=3，
在Rt△AOB中，∠BAO=30∘，则OB=OA⋅tan30∘=3，
由旋转性质得OB′=OB=3,OA′=OA=3,∠A′OB′=90∘，点B′在第一象限中，
∴∠A′OC+∠B′OD=90∘，又∠A′OC+∠OA′C=90∘，
∴∠OA′C=∠B′OD，
∴△A′CO∽△ODB′，
∴A′COD=OCB′D=OA′OB′=33=3，
∵B′的坐标是m,n，且在第一象限，
∴OD=m,B′D=n，
∴A′C=3OD=3m，OC=3B′D=3n，
∵A′在函数y=−3xx−1，
解不等式②，得：x≤3，
∴不等式组的解集为：−10,b>0，
∴另一个数的十位数字为a，个位数字为10−b，
∴这两个两位数分别为10a+b，10a+10−b，
根据题意得：这个运算规律为10a+b10a+10−b=100aa+1+b10−b，
证明：左边=100a2+10ab+100a+10b−10ab−b2
=100a2+100a+10b−b2
右边=100a2+100a+10b−b2，
∴左边=右边；
②由①得：n=100a2+100a+10b−b2，
∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，
∴新的两个两位数分别为10b+a，1010−b+a，
∴m=10b+a1010−b+a
=10b+a100−10b+a
=1000b+100a−100b2−10ab+10ab+a2
=1000b−100b2+100a+a2，
∴m−n=1000b−100b2+100a+a2−100a2+100a+10b−b2
=1000b−100b2+100a+a2−100a2−100a−10b+b2
=−99a2−99b2+990b，
=−99a2+b2+10b，
∵a，b为正整数，
∴a2+b2+10b为整数，
∴m−n能被99整除，
∴这个两位数的最大值为99．
27.
【答案】
（1）详见解析
（2）①25或45；
②2516
对角互补
【考点】
相似三角形的性质与判定
解直角三角形的相关计算
根据矩形的性质与判定求线段长
已知圆内接四边形求角度
【解析】
（1）由PC⊥PB,∠PBC=45∘，可证明∠PCB=45∘，可得PB=PC，即可证明结论；
（2）过点P作直线l⊥AD交AD于E,PF⊥AB于F，连结PC，①结合“等距点”定义可知点P在矩形ABCD边AD和BC的垂直平分线上，先证明四边形AEPF是矩形，结合其性质证明△APF∽△PBF，得AF:PF=PF:BF，设AF=x，则BF=10−x，列出方程即可求解；
②根据正切造的定义得tanα=PFAF,tanβ=PFBF，可得tanα⋅tanβ=PFAF×PFBF，即1tanα⋅tanβ=AF⋅BF16，设AF=x，则BF=10−x，得AF⋅BF=x10−x=−x2+10x=−x−52+25，由二次函数的性质即可求解．
（3）根据“等距点”的定义得出，四边形ABCD是圆P的内接四边形，再根据圆内接四边形的性质即可解答．
【解答】
解：（1）证明：∵PC⊥PB于点P，
∴∠BPC=90∘，
又 ∵∠PBC=45∘，则∠PCB=45∘，
∴PB=PC，
∴点P是边BC的“等距点”；
（2）解：过点P作直线l⊥AD交AD于E,PF⊥AB于F，连结PC，
∵点P是矩形ABCD边AD的“等距点”，
∴PA=PD，
又 ∵直线l⊥AD，
∴直线l是矩形ABCD边AD的中垂线，
∴点P在矩形ABCD边AD和BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
∵矩形ABCD中，AB=10,BC=8，
∴AD=BC=8，
∴AE=12AD=4，
∵l⊥AD交AD于E,PF⊥AB于F，
∴∠AEP=90∘,∠AFP=90∘，
又 ∵矩形ABCD中，∠BAD=90∘，
∴四边形AEPF是矩形，
∴PF=AE=4，
∵∠APB=90∘，
∴∠APF+∠BPF=90∘，
∵PF⊥AB，
∴∠AFP=∠PFB=90∘，
∴∠APF+∠PAF=90∘，
∴∠PAF=∠BPF，
∴△APF∽△PBF，
∴AF:PF=PF:BF，
∴PF2=AF⋅BF，
∴PF2=AFAB−AF，
设AF=x，则BF=10−x，
∴x10−x=42，
解得：x1=2,x2=8，
当AF=2时，PA=AF2+PF2=20=25，
当AF=8时，PA=AF2+PF2=80=45，
∴PA的值为25或45；
②∵PF⊥AB于F，
∴在△PAF中，tanα=PFAF，
在△PBF中，tanβ=PFBF，
∴tanα⋅tanβ=PFAF×PFBF，
∴1tanα⋅tanβ=AF⋅BF16，
设AF=x，则BF=10−x，
∴AF⋅BF=x10−x=−x2+10x=−x−52+25，
当x=5时，AF⋅BF有最大值 25，
∴AF⋅BF16有最大值2516，
∴当AF=5时，1tanα⋅tanβ的最大值是2516．
（3）解：∵该四边形的四条边的“等距点”交于一点，
∴“等距点”点P到点A,B,C,D四点距离相等，
∴四边形ABCD是圆P的内接四边形，
∴四边形ABCD的对角互补，
故当四边形ABCD满足对角互补时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点，
故答案为：对角互补．
28.
【答案】
（1）y=−x2+3x+4
（2）①L=−2m2+4m+60