2024-2025学年浙江省台金七校联盟高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省台金七校联盟高一下学期期中联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−3,−1,1,2,3}，B={x|x2−2x−3=0}，则A∩B=( )
A. {−1,3}B. {−3,1}C. {3}D. {−3}
2.已知复数(1−i)z=2(i为虚数单位)，则z=( )
A. iB. −iC. 1+iD. 1−i
3.在△ABC中，BC=3BD，则AC=( )
A. 4AD−3ABB. 3AD−4ABC. 3AD−2ABD. 2AD−3AB
4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”;如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积)，已知数据如图(注意：单位cm)，则平地降雪厚度的近似值为( )
A. 9712cmB. 9512cmC. 314cmD. 9112cm
5.已知平面α，β，直线l⊂α，直线m⊄α，下列说法正确的是( )
A. 若α//β，m⊥β，则l⊥mB. 若α//β，l//m，则m//β
C. 若α⊥β，m//β，则l//mD. 若l⊥m，m//β，则α⊥β
6.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则∠OAE+∠OBE+∠OCE+∠ODE=( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
7.已知a⋅2a=b⋅lg2b=1，则下列不正确的是( )
A. 2a+a=b+lg2bB. a+b=2a+lg2b
C. ab=1D. a+b=2
8.已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为( )
A. 33B. 63C. 2 33D. 2 63
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,x)，则下列正确的是( )
A. |a|= 5
B. 若a⊥b，则x=−4
C. 当x=2时，则向量a在向量b上的投影向量为14b
D. 若向量a与向量b夹角为钝角，则x∈(−∞,1)
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若a=4，b=10，A=π4，则满足条件的三角形有两个
B. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC为锐角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB+sinC>csA+csB+csC
D. 若a=3，b=2c，则△ABC的面积最大值为3
11.如图1，矩形ABCD，已知AB=2，AD=1，E为CD中点，现将△AED沿AE翻折后得到如图2四棱锥D′−ABCE，点F是线段D′B上(不含端点)的动点，则下列正确的是( )
A. 当F为中点时，CF//平面AD′E
B. 当F为中点时，过点A，E，F的截面交CD′于点M，则2CM=D′M
C. 在翻折过程中，存在一个位置使得AE⊥CD′
D. 当AD′⊥BD′时，AF+CF的最小值为 4+ 333
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，若斜边长为2 2的等腰直角▵A′B′C′(B′与O′重合)是水平放置
的▵ABC的直观图，则▵ABC的面积为 ．
13.已知向量|a|=2|b|=2，且向量a与向量b的夹角为π3，则(2a)⋅(3b)= ．
14.已知正四面体A−BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z−21+i是纯虚数．
(1)求复数z;
(2)若复数z1=2z−1是关于x的方程x2+mx+n=0的根，求实数m和n的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且1b+1c= 3AD．
(1)求角A;
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x+12x．
(1)解方程f(x)=103;
(2)若f(3x)−mf(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面ADEF⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2．
(1)证明：平面ABF//平面CDE;
(2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE;
(3)当DE=2时，求二面角B−CF−E的正弦值．
19.(本小题17分)
向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用。它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题.其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数。向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积(外积)，记作：a×b．
规定： ①a×b为同时与a，b垂直的向量，且与b×a为相反向量;
②|a×b|=|a||b|sin(为向量a与b的夹角);

(1)证明：|a×b|= |a|2|b|2−(a⋅b)2;
(2)如图，已知棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1，且∠BAD=∠BAA1=∠A1AD=60∘，计算|(AB×AD)⋅AA1|的值，并解释其几何意义．
(3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面α1，α2，α3，α4上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.D
8.D
9.AC
10.BCD
11.ABD
12.4 2
13.6
14. 63
15.解：(1)因为z=1+bi(b∈R)，可得z−21+i=bi−11+i=(bi−1)(1−i)(1+i)(1−i)=b−12+b+12i，
又由z−21+i是纯虚数，可得b−12=0，b+12≠0，解得b=1，所以z=1+i．
(2)法一：因为z1=2z−1=1+2i是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根，
所以(1+2i)2+m(1+2i)+n=0，即m+n−3+(2m+4)i=0，
可得4+2m=0,m+n−3=0,解得m=−2，n=5．
法二：z1=2z−1=1+2i是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根，所以另一根为z2=z1=1−2i，
由韦达定理可得：2=−m5=n⇒m=−2n=5．
16.(1)由等面积可得：S△ABC=S△ABD+S△ACD⇒bcsinA=c⋅|AD|⋅sinA2+b⋅|AD|⋅sinA2
整理得：1b+1c=2csA2AD= 3AD，故2csA2= 3⇒A=π3．
(2)S△ABC= 34bc，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsA⇒4=b2+c2−bc≥bc，
当b=c=2时等号成立; 即S△ABC≤ 3，
所以△ABC面积的最大值为 3
17.解：(1)令2x=t，则t2−103t+1=0⇒t=3或13⇒x=lg23或lg213．
(2)f(3x)=23x+123x=(2x+12x)(22x−1+122x)，
f(3x)−mf(x)≥0⇒(2x+12x)(22x−1+122x)−m(2x+12x)≥0，
故(22x−1+122x)≥m恒成立，即(22x−1+122x)min≥m，
因为22x−1+122x⩾2 22x×122x−1=1，当且仅当x=0时等号成立，
所以m≤1.
18.解：(1)由ADEF为矩形可得：AF//DE，
又AB//CD，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，
AB、AF⊂平面ABF，CD、DE⊂平面CDE，
故平面ABF//平面CDE;
(2)如图，取CD中点M，连接BM，EM，
因AD//BM//EF⇒BF//EM，
所以∠CEM即为异面直线BF与CE所成角的平面角，
设DE=a，
tan∠CEM=tan(∠CED−∠MED)
=2a−1a1+2a·1a=aa2+2≤a2 2a= 24，
当且仅当a= 2时取等；
(3)过点E作EN⊥FC，即平面BCF与平面ECF所成角即为直线EN与平面BCF所成角，
因DE=2，EN=EF⋅ECCF=2 63，
设点E到面BCF的距离为ℎ，
由VE−BCF=VB−ECF=VM−ECF=VF−ECM，
S△BCF=12⋅ 2⋅2 3= 6，
即13⋅S△BCF⋅ℎ=13⋅S△ECM⋅EF
⇒13⋅ 6⋅ℎ=13⋅1⋅2
⇒ℎ= 63，故sinα=ℎEN=12．

19.(1)左边由定义可得：|a×b|=|a||b|sin
右边=
a2b2−a·b2= a2b2−a2b2cs2= a2b2sin2=absin
=左边．
(2)设AB=a，AD=b，AA1=c，由定义可得底面ABCD的面积为：SABCD=|a×b|，又因a×b为同时与a，b垂直的向量，故a×b为底面ABCD的法向量，则平行六面体的体高为：ℎ=|(a×b)⋅c|a×b|，
所以平行六面体的体积为：V=|a×b|a×b·ca×b=|(a×b)⋅c|，
又因∠BAD=∠BAA1=∠A1AD=60∘，故点A1在底面的投影为ABD的重心，
易得cs= 63，
即V=|(a×b)⋅c|=|a|⋅|b|⋅|c|⋅sin⋅cs= 32× 63= 22．
即|(a×b)⋅c|表示以向量a，b，c构成的平行六面体的体积．
(3)如图，
设正四面体ABCD的棱长为l，其中A∈α1，B∈α2，C∈α3，D∈α4，设AB=a，AC=b，AD=c，且平面α2与AC交于C1，与AD交于D1，故有AC1=12b，AD1=13c，又由(2)可得：
VA−BCD=16|(a×b)⋅c|=16⋅|a|⋅|b|⋅|c|⋅sin⋅cs= 212l3，
VA−BC1D1=16|(a×12b)⋅13c|=136|(a×b)⋅c|= 272l3，
同理VA−BC1D1=13S△BC1D1⋅ℎ=13S△BC1D1=16|BC1→×BD1→|=16|(12b→−a→)×(13c→−a→)，
所以(12b−a)2=14l2+l2−a⋅b=34l2，(13c−a)2=19l2+l2−23a⋅c=79l2，
(12b−a)·(13c−a)=16b⋅c−12a⋅b−13a⋅c+a2=23l2，
所以VA−BC1D1=16(34l2⋅79l2−49l4)12= 536l2，即 536l2= 272l3⇒l= 10．