2024-2025学年天津市耀华中学滨城学校高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市耀华中学滨城学校高一下学期期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以− 5+2i的虚部为实部，以 5i+2i2的实部为虚部的新复数是( )
A. 2−2iB. − 5+ 5iC. 2+iD. 5+ 5i
2.▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=2，b= 6，A=π4，则B=( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
3.如图，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3CE，则DE=( )
A. 34b−13aB. 512b−34aC. 34a−13bD. 512a−34b
4.将水平放置的▵ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则边AB的实际长度为( )
A. 13B. 6C. 5D. 40
5.已知m，n为直线，α为平面，若m/\!/α，n⊂α，则m与n的位置关系是( )
A. 平行B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面
6.已知圆锥的母线长为3 2，其侧面展开图是一个面积为6π的扇形，则该圆锥的体积是( )
A. 4π3B. 8π3C. 4πD. 8π
7.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊥α，m⊥n，则n//α
C. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
8.已知ΔABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若csB=14，b=2，sinC=2sinA，则ΔABC的面积为
A. 156B. 154C. 152D. 15
9.在▵ABC中，已知|AB+AC|=|AB−AC|，且sinA=2sinBcsC，则▵ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
10.点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1外接球球面上的任意一点，则四棱锥P−ABCD的体积的最大值为( )
A. 43B. 4(1+ 3)3C. 4( 3−1)3D. 83
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为( )
A. 62B. 23C. 33D. 63
12.天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=650米，则津沽棒的高度OP=( )米
A. 260 5B. 260C. 130 15D. 360 6
13.已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是( )
①若sin2A=sin2B，则▵ABC定为等腰三角形
②若a2+b2−c2>0，则▵ABC一定是锐角三角形
③已知e1，e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1+ke2与ke1→+e2⃗的夹角为锐角，则k的取值范围是(0,+∞)
④若OA⋅(AC|AC|−AB|AB|)=OB⋅(BC|BC|−BA|BA|)=0，则点O是▵ABC的内心
A. 1B. 2C. 3D. 4
14.如图，在▵ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，E，F分别是AB，AC边上的点，且AE=xAB，AF=yAC，且2x+y=1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则|MN|的最小值为( )
A. 72B. 3 3926C. 2114D. 4 1313
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
15.复数6+8i3i−1的共轭复数是 ．
16.向量a=(−1,2)在向量b=(1,1)上的投影向量为 .(写出坐标)
17.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P−ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为 ．
18.如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若AC=3，AB=4，则AP⋅CD的值为 ．
19.风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源.如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形EFDC为矩形，且DF⊥AB，AC=BC=3，∠ACB=120°，当AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为 ．
20.已知菱形ABCD边长为1，且AB⋅AD=−12,E为线段AD的中点，若F在线段CE上，且BF=λBA+56BC，则λ= ，点G为线段AC上的动点，过点G作BC的平行线交边AB于点M，过点M做BC的垂线交边BC于点N，则MG+MN⋅MF的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知向量a=(3,2)，b=(x,−1)，c=(−8,−1)
(1)求a与c夹角余弦值．
(2)当a+2b⊥2a−b且x>0时，求a−b；
22.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)求证：BD1//平面AEC；
(2)取CC1中点F，求证：平面AEC//平面BFD1
(3)求异面直线AE与D1B所成角
23.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB=6，AP=5，∠BAD=60°

(1)求证：BO⊥平面PAD；
(2)求证：平面PAC⊥平面POE；
(3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值
24.(本小题14分)
已知▵ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c，且3sinA−sinBsinC=3c−2ba+b.
(1)求sinA;
(2)若▵ABC的面积为163 2;
①已知E为BC的中点，且b+c=8，求▵ABC底边BC上中线AE的长;
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.D
6.B
7.C
8.B
9.C
10.B
11.D
12.C
13.A
14.B
15.−1+3i
16.12,12
17. 22
18.1312
19.9 64
20.13 ；3180
21.(1)由向量a=(3,2)，c=(−8,−1)，得a⋅c=3×(−8)+2×(−1)=−26，|a|= 13,|c|= 65，
所以a与c夹角余弦值为cs〈a,c〉=a⋅c|a||c|=−26 13⋅ 65=−2 55．
(2)由a=(3,2)，b=(x,−1)，得a+2b=(3+2x,0),2a−b=(6−x,5)，
由a+2b⊥2a−b，得(3+2x)(6−x)=0，而x>0，则x=6，b=(6,−1)，
a−b=(−3,3)，所以a−b=3 2．
22.(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接BD交AC于O，连接EO，
则O为BD的中点，而E为DD1的中点，则OE//BD1，
又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
所以BD1//平面AEC．
(2)由F为CC1的中点，E为DD1的中点，得CF//ED1,CF=ED1，
则四边形CFD1E为平行四边形，D1F//EC，又EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，
于是D1F//平面AEC，由(1)知BD1//平面AEC，而BD1∩D1F=D1，BD1,D1F⊂平面BFD1，
所以平面AEC//平面BFD1．

(3)由(1)知，OE//BD1，则∠AEO是异面直线AE与D1B所成的角或其补角，
令正方体的棱长AB=2，则OE= 3，AE= 5，
因此cs∠AEO=OEAE= 3 5= 155，
所以异面直线AE与D1B所成角的余弦值为 155．
23.(1)四棱锥P−ABCD底面是菱形，连接BO,BD，∠BAD=60°，则▵ABD是正三角形，
由PO⊥底面ABCD，BO⊂平面ABCD，得BO⊥PO，由O是AD的中点，得BO⊥AD，
而PO∩AD=O,PO,AD⊂平面PAD，所以BO⊥平面PAD．

(2)连接AC，由菱形ABCD，得AC⊥BD，由E是AB的中点，得OE//BD，则AC⊥OE，
由PO⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，得AC⊥PO，
而PO∩OE=O,PO,OE⊂平面POE，则AC⊥平面POE，又AC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面POE．
(3)令AC∩OE=F，连接PF，由(2)知AC⊥平面POE，得∠CPF是直线PC与平面POE所成的角，
AC=2ABcs30∘=6 3，AF=AOcs30∘=3 32，则CF=9 32，
由PA=5，得PO= PA2−AO2=4，OF=AOsin30∘=32，
PF= PO2+OF2= 732，PC= PF2+CF2= ( 732)2+(9 32)2= 79，
在直角▵PCF中，sin∠CPF=CFPC=9 32 79=9 237158，
所以直线PC与平面POE所成角的正弦值为9 237158．
24.(1)由正弦定理得3(a−b)c=3c−2ba+b，即c2+b2−a2=23bc，
故csA=c2+b2−a22bc=23bc2bc=13，因为csA>0，所以A∈(0,π2)，
所以sinA= 1−cs2A= 1−19=2 23．
(2)①由(1)知sinA=2 23，因为▵ABC的面积为163 2，
所以12bcsinA=163 2，解得bc=16，
且b+c=8，解得b=c=4，由于AE=12AB+AC，
所以AE2=14AB2+AC2+2AB⋅AC=14c2+b2+2bccsA=14c2+b2+23bc
=1416+16+23×16=14×83×16=323，所以AE2=323，即AE=4 63．
②因为AD为角A的角平分线，所以sin∠BAD=sin∠CAD=sinA2，
由于S▵ADB+S▵ADC=S▵ABC，
得到12|AD|csinA2+12|AD|bsinA2=12bcsinA=bcsinA2csA2，
由于sinA2≠0，所以|AD|(c+b)=2bccsA2，
由二倍角公式得csA=2cs2A2−1，则2cs2A2−1=13，解得csA2= 63，
又bc=16，所以|AD|(c+b)=2bccsA2=2×16× 63=32 63，
由于b+c≥2 bc=8，当且仅当b=c=4时，等号取得到，
故32 63=|AD|(c+b)≥2 bc|AD|=8|AD|，故|AD|≤4 63．