2024-2025学年河南省南阳某校高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省南阳某校高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果函数f(x)在x=1处的导数为2，则limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx=( )
A. 2B. 1C. 12D. 4
2.下列求导运算正确的是( )
A. (1lnx)′=xB. (x⋅e2x)′=e2x(2x+1)
C. (x2csx)′=−2xsinxD. (x+1x)′=1+1x2
3.为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12；②在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③在犯错误的概率不超过1%的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为( )
注：
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.观察下列各图，并阅读图形下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是( )
A. 40B. 45C. 50D. 55
5.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N∗)，关于数列{an}，下列四个命题中正确的是( )
A. 若an+1=an(n∈N∗)，则{an}既是等差数列又是等比数列
B. “a，G，b成等差数列”是“G2=ab”的充分不必要条件
C. 若Sn=1−(−1)n，则{an}是等比数列
D. 若{an}是等比数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n(n∈N∗)也成等比数列
6.已知数列{an}满足a1=10，an+1−ann=2，则ann的最小值为( )
A. 2 10−1B. 112C. 163D. 274
7.已知实数a，b满足ln(b+1)+a−3b=0，实数c，d满足2d−c+ 5=0，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知数列{an}满足an+1an=5an−3an+1−1,a1=513，设数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列说法错误的是( )
A. 数列{1an−1}是等差数列B. 数列{an}的最大项为a7
C. 使得Sn取得最小值的n为7D. Tn有最小值，无最大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关线性回归分析的问题中，正确的是( )
A. 线性回归方程y​=b​x+a​至少经过点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，…，(xn,yn)中的一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于1
C. 若设直线回归方程为y =2x−1，则当变量x增加1个单位时，y​平均增加2个单位
D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y =0.3x−m，若样本点的中心为(m,2.8)，则实数m的值是−4．
10.已知数列{an}中，a1=1，且对任意的m，n∈N∗，都有am+n=am+an+1，则下列选项正确的是( )
A. an+1−an的值随n的变化而变化
B. a16+a2008=a1+a2023
C. 若m，n，p∈N∗，m+n=2p，则am+an=a2p
D. {Snn}为递增数列
11.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，满足anSn=9(n=1,2,…)，则下面正确的有( )
A. {an}的第2项小于3B. {an}为等比数列
C. {an}为递减数列D. {an}中存在小于1100的项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且满足a3=a1+a2，{anan+1}是等比数列，则a10的值为______．
13.已知函数f(x)=|ex−1|−ax有两个零点，则实数a的取值范围为 ．
14.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+n−3,n是奇数,2an,n是偶数,则数列{an}的前20项和S20= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x+x4．
(1)求曲线y=f(x)与直线2x+y−1=0垂直的切线方程；
(2)若过点A(0,−3)的直线l与曲线y=f(x)相切，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=5,an+1−2an=3n(n∈N∗)，记bn=an−3n．
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn=2n+1bn，求数列{cn}的前n项和为Sn．
17.(本小题15分)
某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示：
(1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关.计算y与x之间的相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润；
参考数据：i=17(xi−x−)(yi−y−)=14,i=17(yi−y−)2=7.08,i=17(xi−x−)2=28, 28×7.08≈14.08
参考公式：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，⋯(un,vn)，①相关系数为：r=i=1n(ui−u−)(vi−v−) i=1n(ui−u−)2 i=1n(vi−v−)2；
②经验回归直线v=βu+αx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别β=i=1n(ui−u−)(vi−v−)i=1n(ui−u−)2，α=v−−βu−
18.(本小题17分)
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=35，a3为a1=2，a7的等比中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+2，记{bn}的前n项和为Tn，证明：18≤Tn36的最小r的取值；
(2)试推导P(n,r)关于n、r的解析式；
(3)是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数.若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C
6.C
7.A
8.B
9.BCD
10.BD
11.ACD
12.162
13.(1,+∞)∪(−1,0)
14.1756
15.解：(1)设所求切线的切点为(x0,y0)，则y0=x0+x04，
又由f(x)=x+x4，可得f′(x)=1+4x3，
切线的斜率为f′(x0)=1+4x03=12，
所以x0=−12，则y0=−12+116=−716，
所以切线方程为y−(−716)=12(x+12)，即8x−16y−3=0．
(2)设切点的横坐标为m，直线l的斜率为k，
则直线l的方程：y=kx−3，
则1+4m3=km+m4=km−3，
则m+m4=m(1+4m3)−3，整理得m4=1，所以m=±1，
当m=1时，k=5，切线方程为5x−y−3=0．
当m=−1时，k=−3，切线方程为3x+y+3=0；
所以切线方程为3x+y+3=0或5x−y−3=0．
16.解：(1)证明：数列{an}满足a1=5,an+1−2an=3n(n∈N∗)，记bn=an−3n，
可得an+1=3n+2an，而bn=an−3n，
因此bn+1=an+1−3n+1=3n+2an−3×3n=2an−2×3n=2(an−3n)=2bn，
由a1=5，得b1=a1−31=5−3=2，
所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列；
(2)由等比数列的通项公式可得bn=2n，cn=2n+1bn=2n+12n，
所以Sn=32+522+723+⋯+2n+12n，12Sn=322+523+724+⋯+2n+12n+1，
两式相减得12Sn=32+222+223+⋯+22n−2n+12n+1=32+12(1−12n−1)1−12−2n+12n+1=52−2n+52n+1，
所以Sn=5−2n+52n．
17.解：(1)由表中的数据可知，y与x线性相关，且x−=4,y−=4.3，
因为i=17(xi−x−)(yi−y−)=14,i=17(yi−y−)2=7.08,i=17(xi−x−)2=28, 28×7.08≈14.08，
所以r=i=17(xi−x−)(yi−y−) i=17(xi−x−)2 i=17(yi−y−)2=14 28×7.08=1414.08≈0.99，
由于r≈0.99，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强；
(2)因为x−=4,y−=4.3，
且i=17(xi−x−)(yi−y−)=14,i=17(xi−x−)2=28，
所以β =i=17(xi−x−)(yi−y−)i=17(xi−x−)2=1428=0.5，
所以α =y−−β t−=4.3−0.5×4=2.3，
因此y关于x的回归方程为y=0.5x+2.3，
当x=8时，y=0.5×8+2.3=6.3，
即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元．
18.解：(1)依题意，S7=7a4=35，
可得a4=5，
又a3为a1=2，a7的等比中项，
则a32=2a7，即(5−d)2=2(5+3d)，
解得d=1，
故an=a4+d(n−4)=n+1；
(2)证明：由上可知bn=1anan+2=1(n+1)(n+3)=12(1n+1−1n+3)，
所以Tn=12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n−1n+2)+12(1n+1−1n+3)
=12(12+13−1n+2−1n+3)=512−12(1n+2+1n+3)8
∴最小的r=9．
(2)设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，
则P(n,r)=a1+a2+…+ar，
从图中可以得出：后一层的点在n−2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，
所以ar+1−ar=n−2，a1=1
所以{ar}是首项为1公差为n−2的等差数列，
所以P(n,r)=r+(n−2)r(r−1)2；
(3)P(n,r+1)+P(n,r)=(n−2)r2+2r+1，
n=3时，满足题意；
而结论要对于任意的正整数r都成立，则(n−2)r2+2r+1的判别式必须为0，
∴4−4(n−2)=0，∴n=3，
故满足题意的数列为“三角形数列”． 男性运动员(人)
女性运动员(人)
对主办方表示满意
200
220
对主办方表示不满意
50
30
P(χ2≥k)
0.600
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
利润y(单位：亿元)
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9