2024-2025学年广东省清远市四校联盟高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省清远市四校联盟高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数为( )
A. C53B. A53C. 53D. 35
2.下列运算正确的是( )
A. (x3+csx)′=3x2+sinx
B. 若函数f(x)满足f′(2)=2，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)2Δx=4
C. [ln(2x+1)]′=12x+1
D. C106=C104
3.设A，B为两个随机事件，若P(B|A)=12，P(A)=25，P(B)=23，则P(A|B)=( )
A. 15B. 310C. 12D. 35
4.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6=63，则实数m=( )
A. 1B. 1或3C. −3D. 1或−3
5.从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有1人被选中的不同选法有( )
A. 60种B. 120种C. 180种D. 210种
6.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A. 36B. 24C. 72D. 144
7.已知过点(−1,0)的直线与曲线y=ex的相切于点A，则切点A坐标为( )
A. (0,1)B. (1,e)C. (2,e2)D. (3,e3)
8.已知函数f(x)=x+1ex.若过点P(−1,m)可以作曲线y=f(x)三条切线，则m的取值范围是( )
A. (0,4e)B. (0,8e)C. (−1e,4e)D. (1e,8e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在(2x−1x)5的展开式中( )
A. 二项式系数之和为32B. 第3项的系数最大
C. 所有项系数之和为−1D. 不含常数项
10.某中学A，B，C，D，E五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是( )
A. 所有不同的分派方案共45种
B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种
C. 若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者A必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种
D. 若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种
11.已知函数f(x)=2ex−ax2+a存在两个极值点x1、x2(x1eB. x1+x22e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x2+1)(x−1)5的展开式中的含x5的系数为______(用数字填写作答)．
13.在半径为 3的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为______．
14.已知函数f(x)=ex−x2，对于任意x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>a，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如表所示．
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=−2处取得极值−14．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若对∀x∈[−3,3]都有f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a2+a4=2b2，a1a3=b3．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC= 3，PC= 5．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=a(ex+a)−x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.D
5.C
6.C
7.A
8.A
9.ABD
10.ACD
11.ACD
12.11
13.2
14.(−∞,2−2ln2]
15.解：(1)记“甲跑第一棒”为事件A1，“甲跑第二棒”为事件A2，“甲跑第三棒”为事件A3，“甲跑第四棒”为事件A4，“运动队获胜”为事件B，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.3×0.6+0.2×0.8+0.2×0.7+0.3×0.7=0.69，
所以当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率为0.69；
(2)P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=0.3×，
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率为623．
16.解：(1)因为函数f(x)=ax3+bx+2，所以f′(x)=3ax2+b，
又函数f(x)在x=−2处取得极值−14，则有f(−2)=−14f′(−2)=0，
即−8a−2b+2=−1412a+b=0，解得a=−1b=12，
所以函数f(x)=−x3+12x+2，则f′(x)=−3x2+12，f′(1)=9，
又因为f(1)=−1+12+2=13，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−13=9(x−1)，即9x−y+4=0．
(2)由(1)知f′(x)=−3x2+12，令f′(x)=0，解得x1=−2，x2=2，
在x∈[−3,3]时，随x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
由表可知，当x=−2时，函数f(x)有极小值f(−2)=−14；
因为f(−2)=−140时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．
证明：(2)由(1)得，f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22，
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕． 比赛位置
第一棒
第二棒
第三棒
第四棒
出场率
0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率
0.6
0.8
0.7
0.7
x
−3
(−3,−2)
−2
(−2,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
−
0
+
0
−
f(x)
−7
单调递减
−14
单调递增
18
单调递减
11